Lukumäärämitta

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]} , jolle

${\displaystyle \mu (A)=\left\{{\begin{matrix}|A|,&{\textrm {jos}}\ A\ {\textrm {on}}\ {\textrm {aarellinen}}\\+\infty ,&{\textrm {muulloin}},\end{matrix}}\right.}$

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

• Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos ${\displaystyle A\subset X}$, niin

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{x\in A}\delta _{x}(X).}$

• Lukumäärämitta yhtyy myös nollaulotteiseen Hausdorffin mittaan:

${\displaystyle \mu ={\mathcal {H}}^{0}.}$

• Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa ${\displaystyle X=\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$, niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

${\displaystyle \int _{X}\,f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i}).}$

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä ${\displaystyle L^{p}}$-normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.