Harmoninen sarja

Harmoninen sarja hajaantuu, tosin varsin hitaasti: jotta sarjan summa ylittäisi luvut 1, 2, 3, 4, ... tarvitaan 1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1674, 4550, 12367, ... termiä (A004080 OEIS:ssä). Luvun 100 ylittämiseen tarvitaan yli ${\displaystyle 10^{43}}$ termiä, tarkalleen 15092688622113788323693563264538101449859497.

Sarjan hajaantuminen voidaan osoittaa tarkastelemalla harmonista sarjaa erään toisen varmasti hajaantuvan sarjan kanssa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\cdots .\end{aligned}}}$

Ääretön sarja 1/2+1/2+1/2... hajaantuu varmasti, ja on helppo nähdä, että harmonisen sarjan ${\displaystyle 2^{k}\!\ }$:n ensimmäisen termin summa on aina vähintään ${\displaystyle 1+{\frac {k}{2}}}$.

Harmonisen sarjan n ensimmäisen termin summa ${\displaystyle H_{n}\!\ }$ on

${\displaystyle \gamma +\psi _{0}(n+1)\!\ }$,

jossa ${\displaystyle \gamma \!\ }$ on Eulerin-Mascheronin vakio ja ${\displaystyle \psi _{0}(x)\!\ }$ on digammafunktio.

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Pekka Alestalo: Tiiliä pinoon. (alaotsikko Vinoon menee) Matematiikkalehti Solmu, 2010, nro 2, s. 27-29. Helsinki: Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto. ISSN 1458-8048. Artikkelin verkkoversio (PDF). Viitattu 15.11.2010.