Geometrinen todennäköisyys

Geometrista todennäköisyyslaskentaa voidaan soveltaa tilanteisiin, jossa kaikki perusjoukon ${\displaystyle \Omega }$ pisteet muodostavat geometrisen kuvion ja tapahtuman ${\displaystyle A}$ pisteet sen osakuvion. Todennäköisyyden suuruus ei saa riippua osakuvion sijainnista ja muodosta, vaan ainoastaan sen mitoista.[3]

Lukuvälien perusjoukkoja voidaan esittää lukusuoralla tai janalla. Myös tasokuviot ja tilavuuskappaleet voivat esittää perusjoukkoja, joista erotetaan osajoukkojen alueita. Perusjoukon koko ${\displaystyle m(\Omega )}$ saadaan pituuksista, aloista ja tilavuuksista, samoin tapahtumia edustavien osajoukkojen koko ${\displaystyle m(A).}$. Funktiolla ${\displaystyle m(x)}$ ilmaistaan geometrisen kuvion koko (pituus, ala tai tilavuus eli mitta).[3]

Oletetaan aluksi, että satunnaisilmiö voi valita minkä tahansa perusjoukkoa ${\displaystyle \Omega }$ esittävän kuvion pisteistä yhtä todennäköisesti. Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkona kuvion osakuvio. Geometrisessä todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että osakuvion ${\displaystyle A}$ piste valitaan todennäköisyydellä

${\displaystyle P(A)={\frac {m(A)}{m(\Omega )}}.}$ [1][3]

Buffonin neula

Yllä olevan ympyrän sisältä sattumanvaraisesti valittujen pisteiden osuminen keskustan alueelle riippuu ainoastaan ympyräalueiden pinta-aloista. Suurimman ympyrän säde on 4 senttimetriä ja keskustan ympyrän säde vain 2 senttimetriä. Ympyrän pinta-ala lasketaan ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, joten suuren ympyrän koko on ${\displaystyle A_{iso}=\pi 4^{2}=16\pi }$ ja pienen ${\displaystyle A_{pieni}=\pi 2^{2}=4\pi }$. Silloin kysytty todennäköisyys on

${\displaystyle P({\text{osuu keskelle}})={\frac {A_{pieni}}{A_{iso}}}={\frac {4\pi }{16\pi }}={\frac {1}{4}}=0,25.}$ [1]

Sykkyrässä olevan metrin pituisen narun katkaiseminen saksilla voidaan muuttaa geometriseksi tehtävksi olettamalla katkaisukohdan valikoituvan sattumanvaraisesti. Naru voidaan aluksi ajatella olevan suoraksi ojennettuna lukusuoralla, jolloin se asettuu lukuvälille ${\displaystyle [0,1]}$. Kun naru katkaistaan valitusta kohdasta ${\displaystyle a}$, saadaan kaksi narun pätkää. Lukusuoralla nämä vastaavat välejä ${\displaystyle [0,a]}$ ja ${\displaystyle (a,1]}$, joiden pituudet ovat ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle 1-a}$. Todennäköisyyslaskut voidaan pelkistää luettelemalla suotuisat luvun ${\displaystyle a}$ arvot välien yhteispituuksina ja vertaamalla ne narun kokonaislituuteen (joka on yksi).[1]

Buffonin neula on ongelma, jossa lautalattialle heitetään neula tai tulitikku. Millä todennäköisyydellä neila osuu lattian raon kohdalle? Ongelma voidaan pelkistää kahden parametrin ongelmaksi: tikun keskikohdan ja tikun asentoon lattiarakoihin nähden.