Geometrinen jakauma

Geometrinen jakauma on dikotomisen toistokokeen ensimmäisen tulosta edeltävien kokeiden lukumäärän jakauma.

Geometrinen jakauma

Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ onnistumisen todennäköisyys (reaaliluku)
Määrittelyjoukko	k epäonnistumista, missä ${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}$
Pistetodennäköisyysfunktio	${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$
Odotusarvo	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$
Mediaani	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!-1}$ (ei yksikäsitteinen, jos ${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$ on kokonaisluku)
Moodi	${\displaystyle 0}$
Varianssi	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$
Vinous	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$
Huipukkuus	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$
Entropia	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$

Geometrinen jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on geometrisesti jakautunut, merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {Geom} (p).}$

Jakauman parametri ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ on tuloksen todennäköisyys. Pistetodennäköisyysfunktio on

${\displaystyle \operatorname {P} (X=i)=p(1-p)^{i}}$

ja kertymäfunktio

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq i)=1-(1-p)^{i+1}}$

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}}}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$