Antikommutatiivisuus

Olkoon ${\displaystyle S}$ epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla ${\displaystyle \circ }$ ja ${\displaystyle *}$. Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko ${\displaystyle S}$ varustettuna laskutoimituksella ${\displaystyle \circ }$ muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos ${\displaystyle a\in S}$, niin merkitään ${\displaystyle a}$:n käänteisalkiota ${\displaystyle -a}$:lla (kuten vastalukua). Ts.

${\displaystyle a\circ (-a)=-a\circ a=0_{S}}$,

missä ${\displaystyle 0_{S}}$ on ryhmän ${\displaystyle (S,\circ )}$ neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio ${\displaystyle *}$ on antikommutatiivinen, jos kaikilla ${\displaystyle a,b\in S}$ pätee

${\displaystyle a*b=-(b*a)}$.

Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

${\displaystyle a*b\neq b*a}$.

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

• Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$, niin ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$.
• Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena: ${\displaystyle a-b=-(b-a)}$kaikille reaaliluvuille ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$.

• Operaattori (matematiikka)