Alkeet

Alkeiden I kirja esittää ensin joukon geometristen käsitteiden määritelmiä. Sen jälkeen seuraavat viisi postulaattia ja viisi aksioomaa eli yleisesti hyväksyttyä totuutta.

Postulaatit ovat sisällöltään geometrisia:

1. On mahdollista piirtää suora mistä hyvänsä pisteestä mihin hyvänsä pisteeseen.
2. On mahdollista jatkaa janaa jatkuvasti suoraksi.
3. On mahdollista piirtää ympyrä, jonka keskipiste on mikä hyvänsä ja keskipisteen ja kehän etäisyys mikä hyvänsä.
4. Kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuria.
5. Jos suora joka leikkaa kaksi muuta suoraa, synnyttää samalle puolelle itseään kaksi sisäpuolista leikkauskulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, niin suorat, jos niitä rajatta jatketaan, kohtaavat toisensa sillä puolen kolmatta suoraa, missä ovat kaksi mainittua kulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa (paralleeliaksiooma)

Aksioomat puolestaan ilmaisevat universaaleja totuuksia:

1. Asiat, jotka ovat samat kuin jokin asia, ovat myös keskenään samat.
2. Jos yhtä suuriin lisätään yhtä suuret, niin kokonaisuudet ovat yhtä suuret.
3. Jos yhtä suurista vähennetään yhtä suuret, niin jäännökset ovat yhtä suuret.
4. Asiat, jotka yhtyvät toisiinsa, ovat yhtä suuret.
5. Kokonaisuus on suurempi kuin sen osa.

I kirjan propositiot käsittelevät kolmioiden ja monikulmioiden sekä yhdensuuntaisten suorien perusominaisuuksia. 5. propositio on tullut tunnetuksi nimellä pons asinorum, aasinsilta. Siinä Eukleides todistaa ovelalla mutta ilmeisesti aloittelijalle vaikeasti ymmärrettävällä tavalla, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. II kirja esittelee kreikkalaisen geometrisen algebran, mm. toisen asteen yhtälön geometrisen ratkaisun. III kirja käsittelee ympyröitä. Mielenkiintoinen on ympyrän kehän ja sen tangentin välisen "kulman" käsittely. IV kirjan aiheena ovat ympyrän sisään ja ympäri piirretyt moni­kulmiot. V kirja esittelee Eudoksoksen suhdeopin. Suhdeoppi on tarpeen VI kirjassa, jossa käsitellään yhden­muotoisuutta.

Paitsi alkeisgeometrian aksiomaattista käsittelyä Alkeet sisältää kirjoissa VII, VIII ja IX koko joukon alkuaan pythagoralaista lukuteoriaa, esimerkiksi Eukleideen algoritmin kahden luvun suurimman yhteisen tekijän tai kahden suureen yhteisen mitan löytämiseksi ja klassisen kauniin todistuksen alkulukujen lukumäärän rajattomuudesta. Tämä saattaa olla Eukleideen oma oivallus.

Alkeiden kirjoista laajin on kirja X, joka sisältää erinäisten irrationaalis­tyyppisten suureiden luokittelun. Viimeiset kirjat käsittelevät avaruusgeometriaa ja kappaleiden tilavuuden määrittämistä Eudoksoksen tyhjennysmenetelmää käyttäen. Ne huipentuvat todistukseen täsmälleen viiden säännöllisen monitahokkaan, Platonin kappaleen olemassaolosta ja näiden kappaleiden tilavuuksien laskemiseen.

Alkeiden merkitys on paitsi sisällössä myös deduktiivisessa esitystavassa. Kaikki lauseet johdetaan suoraan tai välillisesti määritelmistä, postulaateista ja aksioomista. Yleisenä tiedonmuodostusmenetelmänä aksiomattis-deduktiivinen metodi on lähtöisin Aristoteleelta. Eukleideen järjestelmä ei täytä nykyaikaisia matemaattisen täsmällisyyden vaatimuksia, vaan Eukleides huomaamattaan käyttää todistuksissaan lausumattomia lisäoletuksia: esimerkiksi oletusta, että kaksi samansäteistä ympyrää, joiden keskipisteiden etäisyys on halkaisijaa pienempi, leikkaavat toisensa. Kuitenkin itse aksiomaattis–deduktiivinen metodi on tullut matematiikan vakiintuneeksi esitystavaksi.

Erityisen merkityksen tuli saamaan Eukleideen viides postulaatti eli ns. paralleeliaksiooma (vaikka se onkin siis postulaatti, eikä aksiooma), jonka itsestäänselvyys ei ole läheskään niin kiistaton kuin muiden postulaattien. Monet matemaatikot yrittivät eri aikoina johtaa paralleelipostulaatin muista aksioomista. Vasta 1800-luvulla nämä yritykset osoitettiin mahdottomiksi, samalla kun konstruoitiin ns. epäeuklidisia geometrioita, joissa paralleelipostulaattia ei ole lainkaan tai sen korvaa jokin muu suorien yhdensuuntaisuutta koskeva oletus.