Helmholtz-Gleichung

Wie eingangs angedeutet, können durch Trennung der Veränderlichen einige in der Physik vorkommende partielle Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung und eine Gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeit ${\displaystyle t}$ zurückgeführt werden:[2]

• Laplace-Gleichung ${\displaystyle \Delta \phi =0}$,
• Diffusionsgleichung ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$,
• Ungedämpfte Wellengleichungen des Kontinuums ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}}$ oder
• Gedämpfte Wellengleichungen ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}+R{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$, und die
• Leitungsgleichung ${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}+R{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+S\phi }$.

Dazu wird der Produktansatz ${\displaystyle \phi =U({\vec {r}})T(t)}$ mit einer nur vom Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ abhängigen Funktion ${\displaystyle U}$ und einer nur von der Zeit abhängigen Funktion ${\displaystyle T}$ eingesetzt.

Die Laplace-Gleichung entsteht mit ${\displaystyle T\equiv 1}$.

Bei der Diffusionsgleichung ergibt sich aus dem Ansatz

${\displaystyle \Delta U\cdot T={\frac {1}{h^{2}}}U\cdot {\dot {T}}\;\rightarrow \;{\frac {\Delta U}{U}}={\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\dot {T}}{T}}}$

wo der aufgesetzte Punkt die Zeitableitung symbolisiert. Weil die linke Seite nur vom Ort und die rechte Seite nur von der Zeit abhängt, müssen auf beiden Seiten Konstanten stehen:

${\displaystyle {\frac {\Delta U}{U}}:=-\kappa ^{2}\;\rightarrow \;\Delta U+\kappa ^{2}U=0\,,\;{\dot {T}}+\kappa ^{2}h^{2}T=0}$

Somit ist die Diffusionsgleichung überführt in die Helmholtz-Gleichung für ${\displaystyle U}$ und eine Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit für ${\displaystyle T}$.

In gleicher Weise entsteht aus der ungedämpften Wellengleichung

${\displaystyle \Delta U+\kappa ^{2}U=0\,,\;{\ddot {T}}+\kappa ^{2}c^{2}T=0}$,

und aus der gedämpften

${\displaystyle \Delta U+\kappa ^{2}U=0\,,\;{\ddot {T}}+Rc^{2}{\dot {T}}+\kappa ^{2}c^{2}T=0}$.

Bei der Leitungsgleichung kommt noch der Term ${\displaystyle S\phi =SUT}$ hinzu mit dem Ergebnis

${\displaystyle \Delta U+\kappa ^{2}U=0\,,\;{\ddot {T}}+Rc^{2}{\dot {T}}+(S+\kappa ^{2})c^{2}T=0}$.

Die Lösung der Helmholtz-Gleichung ${\displaystyle \Delta U+\kappa ^{2}U=0}$ hängt vom Ort und den Randbedingungen ab, wohingegen die Differentialgleichung für T bei jedem Aufgabentyp immer dieselbe ist.

Die Lösung der Diffusionsgleichung ist immer von der Form

${\displaystyle \phi =U({\vec {r}}){\rm {e}}^{-\kappa ^{2}h^{2}t}}$,

wo e^x die e-Funktion ist, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit abnimmt. Die ungedämpfte Wellengleichung setzt sich immer aus dem Sinus und Cosinus zusammen, beispielsweise:

${\displaystyle \phi =U({\vec {r}})\sin(\kappa ct)}$.

So ergibt sich die Schwingung des geraden Stabes, siehe Navier-Cauchy-Gleichungen. Bei der gedämpften Schwingung lautet die Lösung

${\displaystyle \phi =U({\vec {r}}){\rm {e}}^{-\alpha t\pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\kappa ^{2}c^{2}}}t}}$ mit ${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{2}}c^{2}}$,

wo drei Fälle zu unterscheiden sind:

• Bei überkritischer Dämpfung mit ${\displaystyle \alpha >\kappa c}$ hat die Lösung die gleiche Gestalt wie beim Diffusionsproblem, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit gegen null geht.
• Bei unterkritischer Dämpfung ist ${\displaystyle \alpha <\kappa c}$, die Lösung eine exponentiell mit der Zeit abklingende Welle, und die lässt sich mit Konstanten A und B beschreiben mit

${\displaystyle \phi =U({\vec {r}})[A{\rm {e}}^{-\alpha t}\cos(\omega t)+B{\rm {e}}^{-\alpha t}\sin(\omega t)]}$ und ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\kappa ^{2}c^{2}-\alpha ^{2}}}}$

• Bei kritischer Dämpfung wird ${\displaystyle \alpha =\kappa c}$, sodass die Lösung

${\displaystyle \phi =U({\vec {r}})(A+Bt){\rm {e}}^{-\alpha t}}$

lautet, die schnell mit der Zeit abnimmt.

Die Poisson-Gleichung ${\displaystyle \Delta \phi =f}$ kann durch Substitution auf die Laplace und Helmholtz-Gleichung zurückgeführt werden, wenn ${\displaystyle \phi =K({\vec {r}})+\Omega }$ gefunden wird, sodass ${\displaystyle \Delta \Omega =0}$ ist.

Strömungsbild mit Wirbeln. Rotgelbe Gebiete werden gegen den Uhrzeigersinn, grünblaue im Uhrzeigersinn umströmt

Die Helmholtz-Gleichung wird in der xy-Ebene von Wellenfunktionen der Form ${\displaystyle \psi (x,y)=A\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$ mit beliebigem Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}\,,\;{\vec {r}}=(x,y)}$ und beliebiger Amplitude ${\displaystyle A}$ gelöst.[3] Diese Lösung hat im Fall der Stromfunktion eine anschauliche Bedeutung: Eine Überlagerung von ${\displaystyle N}$ solchen Wellen mit ${\displaystyle {\vec {k}}=c(\cos \alpha _{n},\sin \alpha _{n})}$, beliebiger Konstante c und ${\displaystyle \alpha _{n}=\pi (n-1)/N}$ sowie gleichen Amplituden ${\displaystyle A}$ ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei ${\displaystyle N>3}$ kompliziertere Strukturen, die eine ${\displaystyle 2N}$-zählige Rotationssymmetrie aufweisen. Erhält jede der summierten Wellen eine eigene, zufällig gewählte Amplitude ${\displaystyle A}$, dann können sich unregelmäßige Wirbelstrukturen ergeben, siehe Bild.

Die Funktionen „sin“ und „cos“ berechnen den Sinus und Cosinus. Die allgemeine Struktur dieser Lösung ist

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=C_{1}\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+C_{2}\cdot {\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$

mit

• der e-Funktion e^x,
• der imaginären Einheit i und
• Konstanten ${\displaystyle C_{1,2}}$.

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0}$

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential ${\displaystyle \Phi }$ sowie für das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$:

${\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-4\pi \varrho ({\vec {r}},t)}$

${\displaystyle \Delta A_{i}({\vec {r}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{i}({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j_{i}({\vec {r}},t)}$

(hier für die einzelnen Komponenten mit: ${\displaystyle {\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}{\hat {e}}_{i}}$)

Exemplarisch wird nun die Lösung für ${\displaystyle \Phi }$ durchgeführt, die Herleitung für ${\displaystyle {\vec {A}}}$ geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

${\displaystyle \Phi =\Phi _{\mathrm {hom.} }+\Phi _{\mathrm {part.} }}$

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von ${\displaystyle \Phi }$ und ${\displaystyle \varrho }$ bezüglich ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \varrho ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}}$

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

${\displaystyle \Delta \int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\int d\omega \,\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \Rightarrow \int d\omega \,\left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \Rightarrow \int d\omega \,\left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}=-4\pi \int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t}}$

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

${\displaystyle \left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})=-4\pi \varrho _{\omega }({\vec {r}})}$

Für die homogene Wellengleichung ${\displaystyle \left(\varrho ({\vec {r}},t)=0\right)}$ erkennen wir mit ${\displaystyle \left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Phi _{\omega }({\vec {r}})=0}$ die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung ${\displaystyle \left(\varrho ({\vec {r}},t)\neq 0\right)}$ kann eine Greensche Funktion ${\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')}$ verwendet werden, welche die Gleichung

${\displaystyle \left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-4\pi \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}$

erfüllt.

Diese lautet:

${\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')={\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

${\displaystyle \Phi _{\omega }({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ ein und erhalten

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi ({\vec {r}},t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}e^{-i\omega t}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho _{\omega }({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\exp \left(-i\omega (\mp |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c+t)\right)\end{aligned}}}$

Mit ${\displaystyle t':=t\mp |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c}$ folgt:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho _{\omega }({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\exp(-i\omega t')={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d^{3}r'\,{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}}')e^{-i\omega t'}}$

${\displaystyle \Rightarrow \Phi ({\vec {r}},t)=\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho ({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für ${\displaystyle A_{i}}$ folgt analog:

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c}}\int d^{3}r'\,{\frac {j_{i}({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c}}\int d^{3}r'\,{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}$

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit ${\displaystyle t}$ am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit ${\displaystyle t'}$ am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ verursacht wurde.

• Bessel-Strahl

• Helmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld (engl.)

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online). Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online). In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.

1. In der mathematischen Physik wird der Name Helmholtz-Gleichung sehr selten verwendet. Auch ist keine Arbeit von Helmholtz bekannt, die diese Namensgebung rechtfertigen würde. Helmholtz beschäftigte sich 1858 bis 1861 mit Tonempfindung und dem Helmholtz-Resonator, also Schwingungsproblemen in der Luft, siehe Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1908, S. 580–609 (wikimedia.org [PDF; abgerufen am 10. April 2024]).
2. P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S. 3 ff.
3. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, Berlin, Heidelberg u. a. 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 74 f.