Эквивалентлыҡ бәйләнеше

${\displaystyle X}$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше (${\displaystyle \sim }$) — ул ${\displaystyle X}$ күмәклегенән теләһә ниндәй ${\displaystyle a,b,c}$ өсөн түбәндәге шарттар үтәлгән бинар бәйләнеш:

1. рефлексивлыҡ: ${\displaystyle a\sim a}$;
2. симметриялыҡ: әгәр ${\displaystyle a\sim b}$ булһа, ул саҡта ${\displaystyle b\sim a}$;
3. транзитивлыҡ: әгәр ${\displaystyle a\sim b}$ һәм ${\displaystyle b\sim c}$ булһа, ул саҡта ${\displaystyle a\sim c}$.

«${\displaystyle a\sim b}$» күренешендәге яҙыу «${\displaystyle a}$ эквивалентлы ${\displaystyle b}$-ға» тип уҡыла.

${\displaystyle a\in X}$ элементының эквивалентлыҡ класы ${\displaystyle [a]\subset X}$ тип ${\displaystyle a}$-ға эквивалентлы элементтары аҫкүмәклеге атала; йәғни,

${\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}}$.

Юғарыла килтерелгән билдәләмәнән кисекмәҫтән, әгәр ${\displaystyle b\in [a]}$ булһа, ул саҡта ${\displaystyle [a]=[b]}$ булыуы килеп сыға.

Факторкүмәклек — бирелгән ${\displaystyle X}$ күмәклегенең бирелгән ${\displaystyle \sim }$ бәйләнеше буйынса бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, ${\displaystyle X/{\sim }}$ тип тамғалана.

${\displaystyle a}$ элементының эквивалентлыҡ класы өсөн ошондай тамғалауҙар ҡулланыла: ${\displaystyle [a]}$, ${\displaystyle a/{\sim }}$, ${\displaystyle {\overline {a}}}$.

${\displaystyle \sim }$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата эквивалентлыҡ кластары күмәклеге күмәклектең бүленеүе булып тора.

• Тигеҙлек («${\displaystyle =}$»), теләһә ниндәй күмәклектә тривиаль эквивалентлыҡ бәйләнеше, айырым алғанда, ысын һандар күмәклегендә.
• Модуле буйынса сағыштырыу: а ≡ b (mod n).
• Евклид геометрияһында
  • Конгруэнтлыҡ бәйләнеше («${\displaystyle \cong }$»).
  • Оҡшашлыҡ бәйләнеше («${\displaystyle \sim }$»).
  • Тура һыҙыҡтарҙың параллеллеге бәйләнеше («${\displaystyle \|}$») (әгәр һәр тура һыҙыҡты үҙ-үҙенә параллель тип иҫәпләгәндә).
• Математик анализда функцияларҙың эквивалентлығы:

  ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$-да ${\displaystyle f(x)}$ функцияһы ${\displaystyle g(x)}$ функцияһына эквивалентлы була, әгәр уны ${\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)}$ күренешендә күрһәтеп булһа, бында ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$-да ${\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1}$. Был осраҡта ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ тип яҙалар, кәрәк булғанда һүҙ ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$-да функцияларҙы сағыштырыу тураһында барыуы иҫкә төшөрөлә. Әгәр ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ булғанда ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ булһа, ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$-да ${\displaystyle f(x)}$ һәм ${\displaystyle g(x)}$ функцияларының эквивалентлығы, күренеүенсә, ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$ нисбәтенә тиң.

• Векторлы арауыҡта Нормаларҙың эквивалентлығы.
• Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелек бәйләнеше.
• Төркөмдәрҙең, ҡулсаларҙың, векторлы арауыҡтарҙың изоморфизмы
• Категорияларҙың эквивалентлығы.
• Ниндәйҙер категорияла изоморфизм был категорияла эквивалентлыҡ бәйләнешен бирә.
• Шыма күп төрлөлөктөң шыма атластары эквивалентлығы.

${\displaystyle \sim }$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә яуап биргән бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, ${\displaystyle X/{\sim }}$ символы менән тамғалана һәм ${\displaystyle \sim }$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата факторкүмәклек тип атала. Шул уҡ ваҡытта

${\displaystyle p\colon x\mapsto [x]}$ сюръектив сағылышы

${\displaystyle X}$ күмәклегенең ${\displaystyle X/{\sim }}$ факторкүмәклегенә тәбиғи сағылышы (йәки каноник проекцияһы) тип атала.

${\displaystyle X}$ һәм ${\displaystyle Y}$ — күмәклектәр, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — сағылышы булһын, ти, ул саҡта

${\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X}$ ҡағиҙәһе менән билдәләнгән ${\displaystyle x\sim y}$ бинар бәйләнеше ${\displaystyle X}$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше була.

Был ваҡытта ${\displaystyle f}$ сағылышы

${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$ ҡағиҙәһе,

йәки, шул уҡ булған,

${\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)}$ менән билдәләнгән ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y}$ сағылышын тыуҙыра.

Был ваҡытта ${\displaystyle f}$ сағылышының ${\displaystyle p}$ сюръектив сағылышына һәм ${\displaystyle {\overline {f}}}$ инъектив сағылышна факторизацияһы килеп сыға.

• Отношение толерантности — эквивалентлыҡтың көсһөҙ формаһы.
• Эквиваленция — логик операция.
• Тигеҙлек тамғаһы.

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.