穷竭法

欧几里得在其所著《几何原本》第12卷中，用穷竭法证明了以下六个命题。

命题2

圆面积与其直径的平方成正比。[5]

命题5

两个等高的四面体的体积比等于其底面三角形的面积比。[6]

命题10

圆锥体的体积等于同底等高的圆柱体体积的三分之一。[7]

命题11

等高的圆椎体（或圆柱体）的体积正比于底面面积。[8]

命题12

相似的圆锥体（或圆柱体）的体积正比于其底面直径的立方。[9]

命题18

球体积正比于其直径的立方。[10]

阿基米德用穷竭法计算圆面积

阿基米德使用穷竭法来计算圆周所围住的面积，具体说来就是用一个面积越来越大，边数越来越多的多边形来填充这个圆。当多边形的边数越来越多时，其面积与圆半径的平方之商可以任意接近π，由此证明半径为r的圆周所围面积为πr²，其中π定义为圆的周径之比(C/d)或圆面积与半径平方之比(A/r²).

他还通过比较圆内接和外切正96边形的周长而给出上下界估计 3 + ¹⁰/₇₁ < π < 3 + ¹⁰/₇₀ (此区间之宽度为 ¹/₄₉₇).

他用穷竭法获得的其它结果包括:[11]

• 一条直线与一条抛物线相交，所围出的面积等于同底同高的三角形面积的4/3倍；
• 椭圆面积与以其长轴和短轴为边长的矩形的面积成正比；
• 球体体积等于以该球半径为底面半径和高的圆锥体积的4倍；
• 一个圆柱，若其高等于其底面直径，则其体积为同样直径的球体体积的3/2倍；
• 等速螺线的第一周所扫过的面积等于以第一周终点与起点之间距离为半径的圆的面积的1/3;
• （首次）求出了一个几何级数的和。