朗德g因子

朗德假定[6]，当两个角动量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$耦合时，它们的相互作用能由下式给出：

${\displaystyle E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}}$

令

${\displaystyle \mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar }$

为耦合后的总角动量，则可以证明[6]，在上述形式的相互作用能下，${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$将绕向量${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$进动。

在外加磁场的作用下，带电粒子的角动量会绕外加磁场的方向进动。在这种情况下，是${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$进行进动。朗德采用了一种简化处理的方法，即认为外磁场中的原子的能量仅仅与向量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$与${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$的长时间平均值有关，而后者恰好就是它们在${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$方向上的投影，即[6]

${\displaystyle (\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}}$

随后，朗德进一步假定，角动量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$贡献的磁能由经典的公式给出，并假定${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$是量子化的，其沿着磁场方向的分量由磁量子数${\displaystyle M}$确定，即

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B}$

式中${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$是磁矩，而${\displaystyle \mu _{B}}$為波耳磁子。类似地，朗德写出了角动量${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$带来的能量贡献，但他发现为了与实验结果相一致，需要加上额外的因子2。当时朗德并不清楚为什么[6]，现在我们知道这就是电子的自旋${\displaystyle g}$因子。即：

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B}$

将上面结果加起来，朗德得到下列的表达式，并引入符号${\displaystyle g}$[6]，这就是朗德${\displaystyle g}$因子的最早来源：

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B}$

利用关系式${\displaystyle \mathbf {L} }$+${\displaystyle 2\mathbf {S} }$=${\displaystyle \mathbf {J} }$+${\displaystyle \mathbf {S} }$，朗德得到：

${\displaystyle g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}}$

但是，朗德发现，为了与实验结果相符，这一表达式需要修改为下式，当时朗德并不清楚原因[6]。现在来看，只要将上面的角动量矢量都作为算符来处理，然后将对应的角动量平方算符用其本征值取代，得出这个结果是很自然的。

${\displaystyle g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}$

从上面的导引可见，定义朗德${\displaystyle g}$因子的式子是

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B}$

上式可以等价地表述为[註 1]：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J} }$

很自然的推广是将两边的${\displaystyle J}$同时换成${\displaystyle L,S}$等，并对不同的粒子将${\displaystyle m}$换成对应粒子的质量。这就是现在广泛使用的朗德${\displaystyle g}$因子。

上面的导引已经给出了电子自旋${\displaystyle g}$因子的定义。在实际使用中，它的符号有两种取法，用不同的符号表记：

${\displaystyle g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}}$

歷史上，它的理論值有過變動：

• 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說，${\displaystyle g_{s}}$為1。
  • 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年），${\displaystyle g_{s}}$變為2，方合乎當代實驗觀測值。
• 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年），${\displaystyle g_{s}}$恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。
• 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出QED的朱利安·施温格等人（1947年）所得的${\displaystyle g_{s}}$理論值为${\displaystyle \left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402}$[7]；α目前被視為是自然常數之一，其值約為${\displaystyle {\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}}$。

威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得${\displaystyle g_{s}}$觀測值为${\displaystyle 2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)}$，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

一些粒子的朗德${\displaystyle g}$因子列表如下：

NIST 提供的朗德${\displaystyle g}$因子的值[8]

粒子	朗德${\displaystyle g}$因子	Δg
电子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
质子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013