商群
在數學中，商群或因子群是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模n的循环群是由在整数加法群中将相差n倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。
給定一個群G和G的正規子群N，G在N上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G mod N（mod是模的簡寫）。
商群的重要性很大程度上源自他們與同態的關係。第一同構定理指出，任意群 在同態下的像總是同構于 的商。具體而言，同態 下 的像同構于G/ker，其中 ker 代表 的核。
如果N不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間。
群的子集的乘積
在隨后的討論中，我們將使用在G的子集上的二元運算：如果給出G的兩個子集S和T，我們定義它們的乘積為ST = { st : s∈S并且t∈T }。這個運算是符合結合律的并有單位元為單元素集合{e}，這里的e是G的單位元。因此，G的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半群。
憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什么，并接著解釋正規子群是什么：
- 群G的商群是G的一個劃分，而它在這個乘積運算下是群。
它完全由包含e的子集所確定。G的正規子群是在任何這種劃分中包含e的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。
群G的子群N是正規子群，當且僅當陪集等式aN = Na對于所有G中的a都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，G的正規子群是交換於G的所有子集的子群，并指示為N ⊲ G。置換於G的所有子群的子群叫做可置換子群。
定義
設N是群G的正規子群。我們定義集合G/N是N在G中的所有左陪集的集合，就是說G/N = { aN : a∈G }。在G/N上的群運算定義如上。換句話說，對于每個G/N中aN和bN，aN和bN的乘積是 (aN)（bN）。這個運算是閉合的，因為 (aN)(bN)實際上是左陪集：
- (aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N =(ab)NN =(ab)N。
N的正規性被用在了這個等式中。因為N的正規性，N在G中的左陪集和右陪集是相等的，所以G/N也可以定義為N在G中所有的右陪集的集合。因為運算是從G的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義的（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律的，并有單位元N。G/N的元素aN的逆元是a−1N。
定義的動機
G/N被稱爲商群的契機來自整數的除法。12除以3時會得到答案4，是因為我們可以把12個對象重新分組為各含3個對象的4個子搜集。商群的誕生出于同樣的想法，但用一個群作為最終結果而非一個數，因為比起任意對象構成的集合，群有更嚴密的結構。
更細致的說，當N是G的正規子群的時候，G/N這一群結構形成了一種自然的“重新分組”。它們是N在G中陪集。因為這種運算涉及一個群和它的正規子群，最終我們得到的商不只是陪集的（正常除法所產生的）數目，還包含更多的信息，得到了一個群結構。
例子
- 考慮整數集Z（在加法下）的群和所有偶數構成的子群2Z。這是個正規子群，因為Z是阿貝爾群。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群Z/2Z是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合{ 0, 1 }帶有模2加法運算的群；非正式的說，有時稱Z/2Z等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。
- 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集Z在加法下的群。設n是任何正整數。我們考慮由n的所有倍數構成的Z的子群nZ。nZ在Z中還是正規子群因為Z是阿貝爾群。陪集們是搜集{nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整數k屬于陪集r+nZ，這里的r是k除以n的馀數。商Z/nZ可以被認為模以n的“馀數”的群。這是個n階循環群。
- 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群N，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群G/N是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。
- 考慮實數集R在加法下的群，和整數集子群Z。Z在R中的陪集們是形如a + Z的所有集合，這里0 ≤ a < 1是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，并在結果大於或等于1的時候減去1完成的。商群R/Z同構於圓群S1，它是絕對值為1的複數在乘法下的群，或者說關于原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一個同構給出為f(a + Z) = exp（2πia，參見歐拉恒等式）。
- 如果G是可逆的3 × 3實數矩陣的群，而N是帶有行列式為1的3 × 3實數矩陣的子群，那么N在G中是正規子群（因為它是行列式同態的核）。N的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此G/N同構於非零實數的乘法群。
- 考慮阿貝爾群Z4 = Z/4Z（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法模4），和它的子群{ 0, 2 }。商群Z4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群，群運算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構於Z2。
- 考慮乘法群。第n個馀數的集合N是的ϕ (n)階乘法子群。則N在G中是正規子群并且因子群G/N有陪集N,（1+n）N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。Pallier加密系統基于了在不知道n的因子分解的時候難于確定G的隨機元素的陪集的猜想。
性質
商群G / G 同構於平凡群（只有一個元素的群），而G / {e}同構於G。
G / N的階定義為等于[G : N]，它是N在G中的子群的指標（index）。如果G是有限的，這個指標還等于G的階除以N的階。注意G / N可以在G和N二者是無限的時候是有限的（比如Z / 2Z）。
有一個“自然”滿射群同態π : G → G / N，把每個G的元素g映射到g所屬于的N的陪集上，也就是：π(g) = gN。映射π有時叫做“G到G / N上的規范投影”。它的核是N。
在包含N的G的子群和G / N的子群之間有一個雙射映射；如果H是包含N的G的子群，則對應的G / N的子群是π(H)。這個映射對于G的正規子群和G / N也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。
如果H是在有限群G中的子群，并且H的階是G的階的一半，則H保證是正規子群，因此G / H存在并同構於C2。這個結果還可以陳述為“任何指標為2的子群都是正規子群”，并且它的這種形式還適用於無限群。
所有群都同構於一個自由群的商。
有時但非必然的，群G可以從G / N和N重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z4 / { 0, 2 }同構於Z2，并且還同構於{ 0, 2 }，但是唯一的半直積是直積，因為Z2只有一個平凡的自同構。所以Z4不同于Z2 × Z2，它不能被重構。