几何代数

给定两向量a、b，若其几何积${\displaystyle ab}$[10]反交换，则是垂直的，因为${\displaystyle a\cdot b=0}$；若是交换的，则是平行的，因为${\displaystyle a\wedge b=0}$。

由有序向量集定义的方向

反转方向相当于对外积取负

实外代数中n次元素的几何解释：${\displaystyle n=0}$（有符号点）、${\displaystyle 1}$（有向线段或向量）、${\displaystyle 2}$（有向面元）、${\displaystyle 3}$（有向体积） 。n个向量的外积可直观视作任何n维形状（如n-超平行体、n-椭球）；其大小（超体积）和方向由(n-1)维边界上的方向和内部哪一边的方向定义。[11][12]^:83

可将任意两向量a、b的几何积写成对称积与反对称积之和：

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)}$

于是可以定义内积[lower-alpha 3]

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

于是，对称积可写作

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b}$

反之，g完全由代数决定。反对称部分是两个向量的外积，即含外代数部分之积：

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)}$

那么从简单加法就能有：

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$几何积的非广义或向量形式。

内外积与标准向量代数中的相应概念有关。几何上，若a和b的几何积等于其内积，则就是平行的；若等于其外积，则就是垂直的。在几何代数中，非零向量的平方都是正的，因此两向量的内积可视作标准向量代数的点积。两向量外积可用向量形成的平行四边形所包围的有向面积来表示。3维中具有正定二次型的两向量之叉积与其外积密切相关。

大多数相关几何代数的实例都具有非退化二次型。若二次型是完全退化的，则任意两向量的内积总是零，几何代数就是简单的外代数。除非另有说明，本文只讨论非退化几何代数。

外积可自然推广为代数中任意两元素之间的结合双线性算子，且满足

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

其中，和是对指数的所有排列，${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$是排列的符号，${\displaystyle a_{i}}$是向量（不是代数的一般元素）。由于代数中的每个元素都可表示为这种形式的积之和，这也就定义了代数中每对元素的外积。从定义中可以看出，外积构成交替代数。

克利福德代数的等价结构方程为[13]^:2338[14]^:2346

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

其中${\displaystyle Pf(A)}$是A的普法夫值， ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$提供了将n个索引分为2i、n-2i两部分的组合${\displaystyle \mu }$，k是组合的奇偶性。

普法夫值为外代数提供了度量。另外，正如Claude Chevalley指出的，克利福德代数可还原为二次型为零的外代数。[15]从几何角度看，可从单纯形出发，发展克利福德代数，来理解普法夫值所起的作用。[16]这种推导为杨辉三角和单纯形之间提供了更好的联系，因为提供了对杨辉三角第一层一个1的解释。

多重向量是r个线性独立向量的外积，称作一个刃（blade），次数为r（grade）。[lower-alpha 5]r次刃之和形成的多重向量称作（齐性）r次多重向量。根据公理与闭包，几何代数中的多重向量都是刃之和。

考虑r次线性独立向量集合${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$，跨越向量空间的r维子空间，之后就可定义实对称矩阵（与构造格拉姆矩阵的方法相同）：

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

根据谱定理，${\displaystyle \mathbf {A} }$可由正交矩阵${\displaystyle \mathbf {O} }$对角化为对角矩阵${\displaystyle \mathbf {D} }$：

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

定义一组新的向量${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$，称作正交基向量，是由正交矩阵变换的向量：

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

由于正交变换保内积，所以${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$，${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$垂直。也就是说，两不同向量${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$的几何积完全由外积决定，更一般地说

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

于是，r次刃都可写作r个向量的外积。更一般地，若允许退化几何代数，则正交矩阵将被替换为非退化块中正交的分块矩阵，对角阵的零值项沿退化维度分布。若非退化子空间的新向量是归一化的单位向量：

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

则这些归一化向量必须平方为${\displaystyle \pm 1}$。西尔维斯特惯性定理指出，沿对角阵的${\displaystyle +1}$、${\displaystyle -1}$的总数是不变的。推而广之，平方得${\displaystyle +1}$的向量总数p、得${\displaystyle -1}$的向量总数q也是不变的。（平方为零的基向量总数也不变，若允许退化情形，则可能不为零。）记此代数为${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$。例如，${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$是3维欧氏空间的模型，${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$是相对论时空。${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$是3维空间的共形几何代数。

索引依次递增的n个正交基向量的所有可能积集合，包括作为空积的${\displaystyle 1}$，构成了整个几何代数的基（类似于PBW定理）。例如，下面是几何代数${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$的基：

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

这样形成的基称作规范基，V的任何其他正交基都会产生另外的规范基。每个规范基都有${\displaystyle 2^{n}}$个元素，几何代数的每个多重想来那个都可表为规范基元素的线性组合。若规范基元素是${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$，其中S是索引集，则任意两多重向量的几何积是

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

在描述只含1次元素的多重向量时，常用“${\displaystyle k}$-向量”。高位空间中，有些这样的多重向量不能视作刃（不能分解为k个向量的外积）。举例来说，${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$中的${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$不能分解，不过通常情况下，代数中这类元素不能被几何解释为对象，尽管它们可能代表诸如旋转之类的几何量。只有${\displaystyle 0,1,(n-1),n}$-向量在n-空间中还是刃。