Fòs Lorentz ki aji sou patikil chaje k ap deplase rapidman nan yon chanm jarèt. Chemen chaj pozitif ak negatif yo pliye nan direksyon opoze.

Fòs elektwomayetik oswa fòs Lorentz se fòs yon patikil chaje nan yon chan elektwomayetik. Li se manifestasyon prensipal entèraksyon elektwomayetik. Fòs sa a, aplike nan divès sitiyasyon, pwovoke tout entèraksyon elektrik ak mayetik yo obsève; Se poutèt sa li sitou etidye nan fizik ak nan chimi. Yo etidye pwopòtik efè ki afekte fòs elektwomayetik la nan kad elektwodinamik pwopòtik.

Eponim fòs Lorentz la se fizisyen Olandè Hendrik A. Lorentz^[1][2].

Deskripsyon matematik

Chan elektwomayetik egzèse fòs sa a sou yon patikil ki gen yon chaj elektrik q:

${\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$.

Vektè ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ak ${\displaystyle {\vec {B}}}$ se respektivman chan elektrik ak chan mayetik yo pran nan pwen kote a. patikil, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ reprezante vitès patikil la nan ankadreman referans etid la. Nou ka distenge de kontribisyon nan fòs sa a:

• ${\displaystyle {\vec {F_{\text{elect}}}}=q{\vec {E}}}$, ki se fòs elektrik la;
• ${\displaystyle {\vec {F_{\text{mag}}}}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$, ki se fòs mayetik la.

Nan ka kote chaj elektrik la imobil nan yon sèten pozisyon ki rele ${\displaystyle {\vec {r}}'}$, se poutèt sa vitès li se zewo, epi li pa sijè a okenn fòs mayetik: pwodwi vektè a ${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$ se zewo, epi chaj la sibi yon fòs ki depann sèlman de jaden elektrik ${\displaystyle {\vec {E}}}$.

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F_{\text{el}}}}=q{\vec {E}}}$.

Aksyon fòs Lorentz nan ka yon jaden elektrik zewo.

Lè sa a, Lalwa Koulon bay jaden elektrik ki aji nan ${\displaystyle {\vec {r}}}$:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r'}}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|^{3}}}}$,

ε₀ se yon konstan inivèsèl ki rele permittivite vakyòm (pou ranplase pa pèmitivite mwayen an, lè nou pa nan vid la).

Kalkil fòs la fèt sèlman lè nou konnen valè jaden ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ak ${\displaystyle {\vec {B}}}$, ki sitou detèmine pa distribisyon tout patikil chaje ki fèt nan konfigirasyon an etidye.

Demonstrasyon

Istorikman, fòs Lorentz se te yon done endepandan de ekwasyon ki dekri jaden elektwomayetik la. Nou ka jwenn fòs Lorentz gras a Fòmalis Lagranjyen. Lagranjyen an ki pèmèt nou jwenn ekwasyon Maxwell yo tou fè li posib pou jwenn fòs Lorentz la. Ekwasyon Maxwell yo se ekwasyon sous yo, ak fòs Lorentz se ekwasyon evolisyon an (ekwasyon dinamik). Nou jwenn tou de gras a ekwasyon Euler-Lagrange. Pou jwenn ekwasyon dinamik yo, nou aplike ekwasyon Euler-Lagrange yo nan kowòdone espas yo (pozisyon, vitès), epi pou jwenn ekwasyon sous yo (ekwasyon Maxwell), nou aplike ekwasyon Euler-Lagrange yo nan kowòdone jeneralize yo (chan). , ak derive nan chan an). Aksyon yon patikil ki chaje pwen ki sibi yon jaden elektrik se:

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(-mc^{2}{\sqrt {1-{\tfrac {{\vec {V}}^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {V}}\right)dt}$.

ak

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt}$.

Pou aplike ekwasyon Euler-Lagrange yo, nou premye gade pou moman sa a:

${\displaystyle \Pi ={\frac {\partial L}{\partial {\vec {V}}}}={\frac {m{\vec {V}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {V}}^{2}}{c^{2}}}}}}+q{\vec {A}}}$

Notasyon ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\vec {V}}}}}$ se yon ti jan abizif. Lè sa a, ekwasyon Euler-Lagrange di nou ke:

${\displaystyle {\frac {d\Pi }{dt}}={\frac {d({\vec {P}}+q{\vec {A}})}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {x}}}}=-q\nabla \phi +q\nabla ({\vec {A}}.{\vec {V}})}$.

Epi

${\displaystyle {\frac {d{\vec {A}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {V}}.\nabla ){\vec {A}}}$.

KONSA

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}+q{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+q({\vec {V}}.\nabla ){\vec {A}}=-q\ nabla\phi +q\nabla ({\vec {A}}.{\vec {V}})}$.

Epi itilize idantite vektè

${\displaystyle {\vec {V}}\wedge (\nabla \wedge {\vec {A}})=\nabla ({\vec {A}}\cdot {\vec {V}})-({\vec {V}}\cdot \nabla ){\vec {A}}}$.

nou jwenn

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=-q{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-q\nabla \phi +q\left({\vec {V}}\wedge (\nabla \wedge {\vec {A}})\right)}$.

dwe fòs Lorentz si

${\displaystyle \nabla \wedge {\vec {A}}={\vec {B}}}$.

Epi

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$.

Nou kapab tou revele fòs Lorentz lè l sèvi avèk ekwasyon Maxwell yo; li parèt kòm yon tèm sous nan ekwasyon kontinwite dansite batman kè jaden elektwomayetik la. Swa

${\displaystyle {\frac {\partial ({\vec {E}}\wedge {\vec {B}})}{\mu _{0}\partial t}}+\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\wedge {\vec {B}}-\nabla \sigma =0</math>.ak<math>\sigma }$ tansè estrès Maxwell la.

Nou kapab tou ale nan fòmalis relativis Lagranjyen, aplike nan relativite espesyal. Nan kad sa a, mouvman yon patikil ki swiv trajectoire x^b(τ) sibi chan elektwomayetik la dekri pa aksyon li , ki pran fòm lan ${\displaystyle S=\int qA_{b}\;{\rm {d}}x^{b}}$, kote kantite A_i se sa nou rele kadripotansyèl, kote nou tire potansyèl elektrik ak vektè potansyèl la. ki konplètman detèmine jaden elektrik la ak jaden mayetik la.

Kòm dabitid nan relativite espesyal, nou defini kwadriviteness pa

${\displaystyle u^{a}\equiv {\frac {\rm {dx^{a}}}{\rm {d\tau }}}\quad ,}$

ki pèmèt nou reekri aksyon an nan fòm lan

${\displaystyle S=\int qA_{b}u^{b}\;{\rm {d}}\tau }$.

Nan fòmalis aksyon an (ki se entegral Lagranjyen an), trajectoire la detèmine pa maksimize aksyon an parapò ak varyasyon posib nan trajectoire x^b ( τ). Trajectory a parèt klèman nan kwadrivèktè vitès la, men tou, implicitman nan kwadripotansyèl la, depi lèt la evalye nan chak pwen nan trajectoire la. Kidonk, varyasyon an nan aksyon an bay

${\displaystyle \delta S=\int q\left(A_{b}{\frac {{\rm {d}}\delta x^{b}}{{\rm {d}}\tau }}+\delta x^{a}\partial _{a}A_{b}u^{b}\right)\;{\rm {d}}\tau }$.

Nou kapab entegre premye tèm pa pati, pou jwenn

${\displaystyle \delta S=\int q\left(-{\frac {{\rm {d}}A_{b}}{{\rm {d}}\tau }}\delta x^{b}+\delta x^{a}\partial _{a}A_{b}u^{b}\right)\;{\rm {d}}\tau }$,

men kòm kwatripotansyèl la depann sèlman evalye sou pwen nan trajectoire yo, nou genyen

${\displaystyle \delta S=\int q\left(-u^{a}\partial _{a}A_{b}\delta x^{b}+\delta x^{a}\partial _{a}A_{b}u^{b}\right)\;{\rm {d}}\tau }$.

Lè yo gwoupe ansanm tout tèm yo, li vini

${\displaystyle \delta S=\int q\left((\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a})u^{b}\right)\;\delta x^{a}\;{\rm {d}}\tau }$.

Tèm entegral deyò dτ ak δx^a bay fòs la. Lè nou prezante tensor elektwomayetik F_ab konsa ke

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}}$,

Se poutèt sa fòs f^a ekri

${\displaystyle f^{a}=qF_{\;\;b}^{a}u^{b}}$.

Akòz estrikti ekwasyon Maxwell yo, nou montre ke jaden mayetik la ka ekri sou fòm wotasyon yon vektè, potansyèl vektè chan mayetik la. Koulye a, pati espasyal la nan tenseur elektwomayetik la ka ekri, si nou mete tèt nou nan kowòdone kartesiyen x, y, z,

${\displaystyle F_{\;\;b}^{a}=\left({\begin{array}{cccc}0&?&?&?\\?&0&\partial _{x}A^{y}-\partial _{y}A^{x}&\partial _{x}A^{z}-\partial _{z}A^{x}\\?&\partial _{y}A^{x}-\partial _{x}A^{y}&0&\partial _{y}A^{z}-\partial _{z}A^{y}\\?&\partial _{z}A^{x}-\partial _{x}A^{z}&\partial _{z}A^{y}-\partial _{y}A^{z}&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}0&?&?&?\\?&0&({\rm {rot}}\;A)^{z}&-({\rm {rot}}\;A)^{y}\\?&-({\rm {rot}}\;A)^{z}&0&({\rm {rot}}\;A)^{x}\\?&({\rm {rot}}\;A)^{y}&-({\rm {rot}}\;A)^{x}&0\end{array}}\right)}$.

Aplike nan pati espasyal kwadrivitès la, nou verifye, lè nou note ${\displaystyle {\vec {B}}}$ wotasyon ${\displaystyle {\vec {A}}}$, ke nou genyen

${\displaystyle F_{\;\;b}^{a}u^{b}=\left({\begin{array}{c}?\\v^{y}B^{z}-v^{z}B^{y}\\v^{z}B^{x}-v^{x}B^{z}\\v^{x}B^{y}-v^{y}B_{x}\end{array}}\right)+...=\left({\begin{array}{c}?\\\\{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\\~\end{array}}\right)}$.

Si kounye a nou konsidere konpozan tanporèl "F" a, nou genyen

${\displaystyle F_{\;\;b}^{a}=\left({\begin{array}{cccc}0&&-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {A}}-{\vec {\nabla }}A^{t}&\\&0&B^{z}&-B^{y}\\-{\vec {\nabla }}A_{t}-\partial _{t}{\vec {A}}&-B^{z}&0&B^{x}\\&B^{y}&-B^{x}&0\end{array}}\right)}$.

Kounye a, bay ekwasyon Maxwell yo, nou konnen nou ka ekri jaden elektrik la kòm sòm opoze derive tan an nan potansyèl vektè a ak gradyan potansyèl elektrik la, ke nou pral asimile ak A_t. Konsa, nou gen ekspresyon kat dimansyon fòs la:

${\displaystyle F_{\;\;b}^{a}u^{b}=\left({\begin{array}{c}{\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{c^{2}}}\\\\{\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\\~\end{array}}\right)}$.

Lòd grandè

Entèaksyon elektwomayetik la se dezyèm nan kat Entèraksyon Elemantè nan lòd pouvwa yo. Nan enèji ki ba, sa vle di reyaksyon chimik oswa reyaksyon nikleyè, li apeprè yon santèn fwa pi fèb pase entèraksyon fò, men depase entèraksyon fèb ak gravitasyon pa yon faktè de 10¹¹ ak 10⁴² respektivman. Ak eksepsyon de fenomèn gravitasyonèl, entèraksyon elektwomayetik responsab, sou echèl atomik la, pou pifò fenomèn obsèvab sou echèl makwoskopik la. Vreman vre, sou echèl makwoskopik la, entèraksyon elektwomayetik anpeche yon objè travèse yon lòt, pèmèt yon objè aplike yon fòs sou yon lòt (princip aksyon-reaksyon) oswa menm responsab fòs friksyon yo.

Travay fòs Lorentz

Travay fòs Lorentz la koresponn ak enèji chan elektwomayetik transmèt nan patikil ki chaje yo.
Pou yon deplasman elemantè ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$ pwen aplikasyon an. fòs, travay elemantè fòs Lorentz ${\displaystyle {\vec {F}}}$ se pa definisyon:

${\displaystyle \delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$,

pakonsekan: ${\displaystyle \delta W=(q\,{\vec {E}}+q\,{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$.

Kòm nou gen nan definisyon ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\ell }}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t}$, il vient :

${\displaystyle \delta W=q\,{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t+q\,{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t}$.

Dezyèm tèm an anile, vektè pwodwi ${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$ ki òtogonal ak ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Se poutèt sa, finalman nou jwenn:

${\displaystyle \delta W=q\,{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t}$.

Se poutèt sa, travay fòs Lorentz la pa zewo nan ka jeneral la. Nan lòt men an, nou wè ke fòs la mayetik pa travay, se sèlman eleman elektrik la ap travay ak Se poutèt sa ka varye enèji sinetik nan yon patikil chaje.

Istwa

Ekstrè nan Teyori elektwomayetik Maxwell ak aplikasyon li nan kò k ap deplase, 1892, p. 451; Fòmil pou fòs Lorentz (I) ak divèjans elektrik (II) ak champ mayetik (III).

Premye tantativ pou quantifier fòs elektwomayetik la te fèt nan mitan 18tyèm syèk la. Entèraksyon sou poto mayetik ak chaj elektrik yo te sipoze depann de ${\displaystyle 1/r^{2}}$, respektivman pa Johann T. Mayer ak lòt moun nan 1760^[3], ak pa Henry Cavendish an 1762^[4]. Sepandan, okenn nan yo pa t 'kapab montre li sevè atravè eksperyans^[5], epi se Coulomb ki te reyalize sa an 1784 pa mwayen yon balans tòsyon. Yon ti tan apre dekouvèt Hans C. Orsted an 1820 nan entèraksyon ant yon zegwi mayetik ak yon sikwi travèse pa yon kouran elektrik, Ampère te etabli atravè eksperyans angilè a. depandans fòs ki egzèse ant de seksyon elemantè yon kouran^[6],[7]. Tout deskripsyon sa yo nan fòs elektwomayetik la te baze sou pwopriyete tankou distans ki genyen ant de chaj, olye ke entèraksyon ki rive nan jaden elektrik ak mayetik^[8].

Premye itilizasyon chan elektwomayetik yo te parèt ak Faraday, atravè sa li te rele Modèl:Language , ak deskripsyon matematik li te genyen. Lord Kelvin ak Maxwell^[9]. J. J. Thompson se premye moun ki te eseye etabli yon ekspresyon pou fòs Lorentz kòm yon fonksyon chan elektwomayetik ki soti nan ekwasyon Maxwell yo. An 1881 Thompson te pibliye yon tèz ki te enterese nan konpòtman chaj k ap deplase nan reyon katòd kote li te etabli ekspresyon inèg sa a pou fòs mayetik la:

${\displaystyle {\vec {F_{\text{mag}}}}={\frac {q}{2}}{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$

Fòm Thompson jwenn nan gen yon faktè miltiplikasyon depase ${\displaystyle 1/2}$, yon konsekans erè kalkil ak yon deskripsyon enkonplè nan kouran deplasman an. Lè sa a, se Heaviside, pa mwayen deskripsyon vektè aktyèl li te envante a, ki te etabli fòm kòrèk eleman mayetik la an 1889^[10],[11]. Finalman, se nan 1895 ke eponim fòs elektwomayetik la, Hendrik Lorentz, te etabli ekspresyon konplè lèt la lè yo ajoute eleman elektrik la. Li jwenn li lè li eksplwate vèsyon vektè Heaviside nan ekwasyon Maxwell yo ak lè l sèvi avèk mekanik lagranjyen, ke li aplike nan yon etè estasyonè]] atravè yon apwòch lokal^[12],[13]. Lè sa a, Lorentz kite deskripsyon Maxwell nan etè kondiksyon an, epi fè distenksyon ant matyè ak sa yo rele etè liminifè a.

Nòt ak referans

Gade tou