Ympyrän keskipiste

Janan keskinormaalin konstruoiminen. Kolmen pisteen välille vedetään kolmet janat, jotka kaikki puolitetaan omalla keskinormaalilla. Kolme konsyklisen pisteen keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteessä.

Kolmen pisteen kautta, jotka ovat konsyklisiä, voidaan piirtää ympyrä. Keskipisteen paikka voidaan löytää käyttäen vain harppia ja viivainta. Keskipiste löydetään muodostamalla pisteiden avulla piirretyn kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste.[8][9]

Tasogeometriassa ympyrän, eli sen kehän, yhtälössä ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$ keskipisteen O koordinaatit näkyvät suoraan ${\displaystyle O(a,b)}$. Avaruusgeometriassa ympyrän yhtälö kirjoitetaan ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}$ ja sen keskipisteen koordinaatit ovat ${\displaystyle O(a,b,c)}$.

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään ${\displaystyle \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})}$, voidaan pisteiden kautta piirretyn ympyrän keskipiste ${\displaystyle O(a,b)}$ ilmaista

${\displaystyle a=-{\frac {b_{x}}{2a}}}$

ja

${\displaystyle b=-{\frac {b_{y}}{2a}},}$ [9]

missä kertoimet lasketaan determinanteilla

${\displaystyle b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}}$ [9]

ja

${\displaystyle b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}}}$ [9]

sekä

${\displaystyle a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$ [9]

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on yksi Eulerin suoralla olevista kolmion merkillisistä pisteistä.[10][11]