Ympyrä
Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.
Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.
Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.[1]
Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella .
Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala
Ympyrän kehän (piirin) pituus saadaan kaavasta:
Voidaan myös ilmaista säde ja halkaisijan avulla, eli :
Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala saadaan kaavasta:
- , missä on ympyrän säde tai vastaavasti:
- , jossa on ympyrän halkaisija.
Jos ympyrän kehän pituus tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea kaavasta:
Jos ympyrän halkaisija ja kehän pituus tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua ) kaavasta:
Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.
Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja sen rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.
Ympyrän kaari, sektori ja segmentti
Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa.[2] Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.
Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla .
Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.[2]
Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla .
Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa
Keskipisteen ja säteen avulla
Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan
Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:
- , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö
joka on parametrimuodossa:
Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio
Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.
Kolmen pisteen avulla
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään ja , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
joka on evaluoituna
missä
x:n kerroin saadaan matriisista
jättämällä termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti :n suhteen) determinantista
ja
ja vakiotermi c
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
missä keskipisteen koordinaatit ovat
ja
sekä säde
Ympyrän kulmia
Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.
Neljä ympyrää
Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala
- ,
missä r on kunkin ympyrän säde.[5]
Seitsemän ympyrää
Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.
Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.[6]
Ympyrä ja neliö
Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.[7]
Ympyrä ja paraabeli
Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli.[8] Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt
Lähteet
- Kompleksianalyysi (sivu 13) users.jyu.fi. Viitattu 1.9.2010.
- Tammi: Matematiikan teoriakirja Kolmio
- Yngve Lehtosaari – Jarkko Leino: Matematiikka 10. Lukion laajempi kurssi. 6.1. Ympyrä, s. 152. Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
- Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen, Maija Salmela: Geometria (Pitkä matematiikka). (Tehtävän 224, s. 101, mukaan). WSOY, 2001. ISBN 951-0-24558-5.
- Jukka Kangasaho ym. (Tehtävän 249, s. 107, mukaan).
- Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, s. 15, 80. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.
- Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Tehtävä 6, s. 15, 81.
Kirjallisuutta
- Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
- Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla
- Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
- Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
- Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
- Ympyrän pinta-alan laskeminen