Ympäristö (topologia)

Topologiassa pisteen ympäristöllä tarkoitetaan yleensä avointa joukkoa, joka sisältää kyseisen pisteen. Formaalimmin, joukko ${\displaystyle U\subset X}$ on pisteen ${\displaystyle a\in X}$ ympäristö, jos ${\displaystyle U}$ on avoin joukossa ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle a\in U}$. Metrisissä avaruuksissa jokainen ${\displaystyle a}$:n ympäristö ${\displaystyle U}$ sisältää kuulaympäristön ${\displaystyle B(a,r)\subset U}$.[1]

Pisteen p ympäristö joukossa V

Joukko ${\displaystyle U}$ on joukon ${\displaystyle A}$ ympäristö, kun pätee ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ja ${\displaystyle U}$ on avoin joukko.[1]

Toisinaan pisteen ympäristölle käytetään seuraavaa, edellisestä hieman poikkeavaa määritelmää. Olkoon ${\displaystyle X}$ topologinen avaruus ja ${\displaystyle x\in X}$. Tällöin ${\displaystyle V}$ on ${\displaystyle x}$:n ympäristö, jos on olemassa ${\displaystyle X}$:n avoin joukko ${\displaystyle U}$ siten, että ${\displaystyle x\in U\subset V}$.[1]

Pisteen x ympäristökanta ${\displaystyle \mathbb {B} }$ on sellainen kokoelma pisteen x ympäristöjä, että jokainen pisteen x ympäristö sisältää osajoukkonaan jonkin tähän kokoelmaan kuuluvan ympäristön.[2]