Yksikkömurtoluku

Jokainen murtoluku voidaan ilmaista yksikkömurtolukujen summana tai erotuksena. Tämä koskee myös yksikkömurtolukuja. Esimerkiksi

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}\qquad {\mbox{tai}}\qquad {\tfrac {1}{20}}={\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}},}$

josta viimeinen on yleisesti ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}-{\tfrac {1}{n+1}}={\tfrac {1}{n(n+1)}}.}$

Yksikkömurtoluvut eli käänteisluvut ovat tärkeitä lukuteoriassa, jossa lukujonojen teorian tulokset todistettiin aluksi näiden ominaisuuksien avulla. Kuuluisa on niin sanottu harmoninen sarja, jonka summa kasvaa äärettömän suureksi eli sarja[3] hajaantuu [4]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\infty }$

Sen sijaan neliölukujen käänteislukujen sarja suppenee [3]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=2.}$

Matemaattisessa analyysissä on esitelty yksinkertainen käänteislukufunktio [5]: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} ,}$ kun ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$.

Yksikkömurtoluvut olivat Lähi-idän muinaisissa korkeakulttuurien kirjanpitäjien, tiedemiesten ja papiston osamaa laskentoa. Murtolukulaskennassa käytettiin murtolukuina vain yksikkömurtolukuja, ja tapa periytyi kreikkalaisille ja arabeille sekä intialaisille, jotka kehittivät merkintöjä eteenpäin varsin myöhään. Yleiset murtoluvut yleistyivät vasta keskiajan jälkeen. [6]

• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia osa I ja II. Suomentanut Pietiläinen, Kimmo. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.