Yhdistetty funktio

Matematiikassa yhdistetyllä funktiolla tarkoitetaan kahta funktiota siten, että ensiksi muuttuja kuvataan ensimmäisellä funktiolla joksikin arvoksi ja sitten saatu tulos kuvataan toisella funktiolla uudeksi arvoksi. Täsmällisesti:

Esimerkki kahden funktion kuvauksien yhdistämisestä.

Olkoon $f:Y\to Z$ ja $g:X\to Y$ kuvauksia. Tällöin yhdistetty funktio $f\circ g$ (luetaan "f pallo g") tarkoittaa kuvausta, jolle $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ kaikilla $x\in X$ . [1] Yhdistetty funktio $f\circ g$ on kuvaus $f\circ g:X\to Z$ .

Derivaatta

Jos f ja g ovat reaalilukujen reaaliarvoisia funktioita ja jos lisäksi $g$ on derivoituva pisteessä $x$ ja $f$ derivoituva pisteessä $g(x)$ , voidaan yhdistetty funktio $f\circ g$ ketjusäännön avulla:

D(f\circ g)(x)=f'(g(x))g'(x)

,

missä ' tarkoittaa derivaattaa $x$ :n suhteen.[2] Leibnizin merkintää käytettäessä sääntö saa muodon

{\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}

.

Lähteet

Adams, Robert A.: ”P.5”, Calculus: A Complete Course, s. 34. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
Lauri Myrberg: ”Yhdistettyjen funktioiden derivoimissääntö”, Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 1, s. 114. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.

Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Adams, Robert A.: ”P.5”, Calculus: A Complete Course, s. 34. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

[2] Lauri Myrberg: ”Yhdistettyjen funktioiden derivoimissääntö”, Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 1, s. 114. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.