Koordinaatisto

Kolmiulotteinen karteesinen koordinaatisto

Pääartikkeli: suorakulmainen koordinaatisto

Yleisimmin koordinaatistolla tarkoitetaan etenkin matematiikassa suorakulmaista eli karteesista koordinaatistoa. Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa yleensä oikeakätisesti, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.

Koordinaatistolle on annettu myös mittayksikkö, ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen. Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen x-akselia ja pystysuunnalle y-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: x-, y- ja z-akselit.

Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin järjestyksessä (x, y, z) ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla. Esimerkiksi (2, −3) tarkoittaa, että piste sijaitsee kaksiulotteisen koordinaatiston pisteessä x = 2 ja y = −3 (tässä 2 on ns. abskissa ja −3 ns. ordinaatta). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esimerkiksi (4,5; 2,25; −6,8).

Napakoordinaatisto, jossa kiertokulmat on merkitty asteina.

Pääartikkeli: Napakoordinaatisto

Napakoordinaatistossa koordinaatit esitetään kiertokulman ${\displaystyle \theta }$ ja säteen ${\displaystyle r}$ funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

Käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin voidaan johtaa Pythagoraan lauseen ja trigonometrian avulla:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$

Sylinterikoordinaatisto, johon on merkitty origo O, säteittäisakseli A ja z-akseli L, sekä koordinaattipiste (${\displaystyle \rho ,\varphi ,z}$)

Sylinterikoordinaatisto on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa kolmikko (φ,ρ,z). Käänteismuunnos karteesisesta koordinaatistosta sylinterikoordinaatteihin tapahtuu vastaavalla tavalla kuin napakoordinaatistossa.

Sylinterikoordinaatiston koordinaattikonventiot vaihtelevat. ISO-standardi ISO 80000-2 suosittelee merkintää (φ,ρ,z). Sädettä kuitenkin merkitään usein symbolilla r, atsimuuttikulmaa θ ja korkeutta h.

Muunnos sylinterikoordinaatistosta suorakulmaiseen voidaan tehdä kaavoilla

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi ,\\y&=\rho \sin \varphi ,\\z&=z.\end{aligned}}}$

Muunnos suorakulmaisesta sylinterikoordinaatistoon voidaan tehdä kaavoilla

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle z=z,}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x),}$

missä

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{jos }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0\\{\text{määrittelemätön}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y=0,\end{cases}}}$

jolloin φ saadaan radiaaneina. Funktio atan2(y,x) on toteutettu esimerkiksi C-kielessä.

ISO standardin mukaiset fysiikassa käytettävät pallokoordinaatit r, φ (tai Φ) ja θ: säde mitattuna origosta r (lat. radius), atsimuuttikulma φ (fii) ja napakulma θ (theeta). Säteelle käytetään usein myös symbolia ${\displaystyle \rho }$ (rhoo).

Pallokoordinaatisto on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Kulmat voidaan ilmoittaa radiaaneina tai asteina. Esimerkiksi tulenohjauksessa käytetään yleisesti korotuskulmaa, joka on rajattu välille ${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$ (tai ${\displaystyle -90^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }}$) yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Matemaattisemmissa asiayhteyksissä käytetään yleisemmin korotuskulman komplementtia ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta \in [0,\pi ]}$, eli z-akselin ja valitun pisteen välistä kulmaa origosta katsoen. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon merkiten tätä kulmaa (korotuskulman komplementtia) ${\displaystyle \theta }$:lla ovat:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Vastaavasti käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista pallokoordinaatistoon ovat:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$

Yllä käytetyssä konventiossa maantieteelliset leveys- ja pituusasteet muodostavat pallokoordinaatiston, jossa leveysaste vastaa kulman ${\displaystyle \theta }$ komplementtia ${\displaystyle 90^{o}-\theta }$ ja pituusaste atsimuuttikulmaa ${\displaystyle \phi }$, jos käytössä on vertausellipsoidin sijaan pallo.

• Koordinaattijärjestelmä
• Trilineaariset koordinaatit ja Barysentriset koordinaatit

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).