Woodallin luku

Lukuteoriassa Woodallin luku (W_n) on luonnollinen luku, joka on muotoa

W_n = n × 2ⁿ − 1

jollekin luonnolliselle luvulle n. Ensimmäiset Woodallin luvut ovat:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … A003261 OEIS-tietokannassa.

Woodallin lukuja tutkivat ensimmäisenä Allan J. C. Cunningham ja H. J. Woodall vuonna 1917, James Cullenin aiempien Cullenin lukuja koskevien tutkimusten inspiroimana.

Woodallin lukuja, jotka ovat myös alkulukuja kutsutaan Woodallin alkuluvuiksi; ensimmäiset luvut n joille Woodallin luku W_n on alkuluku ovat 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … A002234 OEIS-tietokannassa; ja itse Woodallin alkuluvut W_n ovat 7, 23, 383, 32212254719, … A050918 OEIS-tietokannassa.

Vuonna 1976 Christopher Hooley osoitti, että melkein kaikki Cullenin luvut ovat yhdistettyjä lukuja. Hooleyn todistuksen pohjalta Hiromi Suyama todisti väitteen kaikille lukujonoille n · 2^n+a + b, missä a ja b ovat kokonaislukuja ja siten myös Woodallin luvuille. Kuitenkin on olemassa konjektuuri, jonka mukaan on äärettömän monta Woodallin alkulukua. Suurin tunnettu Woodallin alkuluku löydettiin vuonna 2007 ja on 3752948 × 2^3752948 − 1. Sen desimaaliesityksessä on 1129757 numeroa ja sen löysi Matthew J. Thompson PrimeGrid-projektissa.

Woodallin luvuilla on monia jaollisuusominaisuuksia. Esimerkiksi, jos p on alkuluku niin p jakaa luvut

W_{(p + 1) / 2} jos Jacobin symboli ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ on +1 ja

W_{(3p − 1) / 2} jos Jacobin symboli ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ on −1.

Yleistetty Woodallin luku on luku, joka on muotoa n × bⁿ − 1 ja n + 2 > b. Mikäli alkuluku voidaan ilmaista tässä muodossa, se on yleistetty Woodallin alkuluku.