Vuo

Vuon käsitettä voidaan havainnollistaa esimerkiksi tuulettimen ja oheisessa kuvassa näkyvän suorakulmion muotoisen silmukan avulla. Silmukka asetetaan tuulettimen eteen, jolloin ilma virtaa silmukan läpi vauhdilla ${\textstyle v}$. Vuo on tässä tapauksessa silmukan läpi kulkevan ilman tilavuus aikayksikössä (ks. tilavuusvirta). Jos silmukka on kohtisuorassa ilmavirtaa vastaan, on vuo suurimmillaan. Jos taas silmukka on ilmavirran suuntainen, ei ilmaa kulkeudu sen läpi yhtään. Tällöin vuo on nolla. Jos taas silmukka ripustetaan tuulettimen eteen siten, että se ilmavirta läpäisee sen kulmassa ${\displaystyle \theta }$, niin silmukan läpäisevän ilman tilavuus yhden sekunnin aikana on

${\displaystyle v_{\perp }A=vA\cos \theta }$,

missä

${\displaystyle v=\lVert \mathbf {v} \rVert }$ on ilman vauhti (oletetaan vakioksi silmukan kohdalla),

${\displaystyle A}$ on silmukan pinta-ala ja

${\displaystyle v_{\perp }=\lVert \mathbf {v} _{\perp }\rVert }$ on silmukkaa vastaan kohtisuoran nopeuskomponentin suuruus (vauhti).

Merkinnällä ${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert }$ tarkoitetaan tässä vektorin ${\displaystyle \mathbf {v} }$ normia eli pituutta (eli suuruutta).

(Vakio-)vektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ läpäisee tasopinnan kulmassa ${\displaystyle \theta }$ pinnan yksikkönormaaliin nähden. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ on tason pinta-alavektori.

Korvataan nyt havainnollistuksessa käytetty ilmavirran nopeus yleisellä vektorikentällä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ja silmukka tasopinnalla, jonka pinta-ala on ${\displaystyle A}$. Oletetaan myös vielä, että vektorikenttä on vakio, eli kaikissa määrittelyavaruutensa pisteissä yhtä suuri ja samansuuntainen. Vaikka vektorit eivät voi ''virrata'' havainnollistuksessa käytetyn ilmavirran tapaan, voidaan samaa ideaa vuosta käyttää myös vektorikentille.

Tasolle voidaan määritellä pinta-alavektori käyttäen tason yksikkönormaali(-vektoria), joka on kaikkialla kohtisuorassa tasoa vastaan oleva, tasosta ulospäin osoittava yksikkövektori. Pinta-alavektori on sellainen vektori, joka on samansuuntainen tason yksikkönormaalin kanssa ja sen pituus on yhtä suuri kuin tason pinta-ala:

${\displaystyle \mathbf {A} =A\,\mathbf {\hat {n}} }$.

Koska tasolla on aina kaksi puolta, on jokaisella tasolla myös kaksi vastakkaissuuntaista yksikkönormaalia. Ts. jos ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$ ja ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}}$ ovat tason eri puolten yksikkönormaalit, niin ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}=-\mathbf {\hat {n}} _{2}}$. Mikäli yksikkönormaalin suuntaa ei ole erikseen määritelty, on yhdentekevää, kumpaa suuntaa käyttää. On kuitenkin pidettävä huolta, että esimerkiksi laskettaessa eri kenttien voita saman tason läpi yksikkönormaali pidetään aina samana. Jos yksikkönormaalin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, vuo muuttuu vastaluvukseen, mutta sen itseisarvo ei muutu (todistus kappaleen lopussa).

Tason normaalivektoria käyttämällä vektori ${\displaystyle \mathbf {F} }$ voidaan jakaa tason suuntaiseen komponenttiin ${\displaystyle \mathbf {F} _{||}}$ ja tasoa vastaan kohtisuoraan komponenttiin ${\displaystyle \mathbf {F} _{\perp }}$ (ts. ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{||}+\mathbf {F} _{\perp }}$). Näistä kahdesta komponentista ainoastaan ${\displaystyle \mathbf {F} _{\perp }}$ läpäisee tason, joten vain sen pituus vaikuttaa vuohon. Vastaavasti, kuten ilmavirran tapauksessa, vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vuo tason läpi (merkitään ${\displaystyle \Phi _{F}}$) on:

${\displaystyle \Phi _{F}=F_{\perp }A=FA\cos \theta }$,

missä

${\displaystyle F=\lVert \mathbf {F} \rVert }$,

${\displaystyle \theta }$ on ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$:n ja ${\displaystyle \mathbf {F} }$:n välinen kulma sekä

${\displaystyle F_{\perp }=\lVert \mathbf {F} _{\perp }\rVert }$. [1]

Tästä määritelmästä huomataan, että vuo voidaan laskea myös pistetulon avulla:

${\displaystyle \Phi _{F}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {A} }$.

Lisäksi huomataan, että käyttämällä tason toisen puolen yksikkönormaalia ${\textstyle -\mathbf {\hat {n}} }$, vuo muuttuu vastaluvukseen:

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot A(-\mathbf {\hat {n}} )=\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {A} )=-(\mathbf {F} \cdot \mathbf {A} )=-(\mathbf {F} \cdot A\mathbf {\hat {n}} )}$.

Taso (pinta-ala ${\displaystyle A}$) voidaan jakaa moneen pieneen alueeseen, joiden pinta-ala on ${\displaystyle \delta A}$. Vektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ voi vaihdella eri alueiden kohdalla.

Olkoon nyt ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vektorikenttä, joka riippuu avaruuden pisteestä. Käytetään tarkasteltavana pintana vielä tasoa, jonka pinta-ala on ${\displaystyle A}$. Jaetaan tämä taso pieniin palasiin, joista jokaisen pinta-ala on ${\displaystyle \delta A}$. Jokaisen pienen palan pinta-alavektori ${\displaystyle \delta \mathbf {A} }$ on tasoa vastaan kohtisuorassa, kuten perusmääritelmässäkin. Oheisessa kuvassa on esitetty kaksi tällaista palaa, järjestysluvuiltaan ${\displaystyle i}$ ja ${\displaystyle j}$. Tarkastellaan palaa ${\displaystyle i}$, jonka kohdalla vektorikenttä saa arvon ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$. Tämän palasen läpäisevä pieni vuo on perusmääritelmään nojaten

${\displaystyle \delta \Phi _{i}=\mathbf {F} _{i}\cdot (\delta \mathbf {A} )_{i}}$.

Vuo muiden palasten kohdalla saadaan vastaavasti. Kokonaisvuo tason läpi saadaan laskemalla yhteen kaikki pienet vuot koko tason alueelta:

${\displaystyle \Phi _{F}=\sum _{i}\delta \Phi _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot (\delta \mathbf {A} )_{i}}$.

Vuon laskeminen tällä tavoin saattaa kariutua pinta-alaan ${\displaystyle \delta A}$. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ kun ei välttämättä ole vakio minkään äärellisen kokoisen pinnan kohdalla. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on integroituva, niin ongelma ratkeaa viemällä palojen pinta-alat infinitesimaalisen pieniksi (${\displaystyle \delta \mathbf {A} \to \mathrm {d} \mathbf {A} }$), niiden lukumäärän lähestyessä ääretöntä. Tällöin summa voidaan korvata integraalilla:

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{\text{taso}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$. [2]

Kaksinkertainen integraalimerkki painottaa sitä, että tässä integroidaan (vektori-)funktiota kaksiulotteisen pinnan yli. Joissain teksteissä (esim. [1]) saatetaan käyttää tavanomaista yksinkertaista integraalimerkkiä.

Integraalimääritelmästä päästään kääntäen takaisin perusmääritelmään. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on vakio koko tason alueella, niin integroinnin laskusääntöjen nojalla:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{F}&=\iint _{\text{taso}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iint _{\text{taso}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} A\\&=\iint _{\text{taso}}F_{\perp }\,\mathrm {d} A=F_{\perp }\iint _{\text{taso}}\mathrm {d} A\\&=F_{\perp }A\end{aligned}}}$

Integraali ${\textstyle \iint _{\text{taso}}\mathrm {d} A}$ saattaa olla monimutkaisuudessaan harhaanjohtava merkintä, mutta lopulta se tarkoittaa vain infinitesimaalisten pinta-alojen summaa koko tason yli, eli tason kokonaispinta-alaa.

Kaareva pinta ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ voidaan myös jakaa moneen pieneen alueeseen, joiden pinta-ala on ${\displaystyle \delta A}$.

Vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vuo kaarevan pinnan läpi ei eroa tasopinnan tapauksesta. Merkitään pintaa nyt lyhennyssyistä ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$:llä. Tehdään, kuten tason tapauksessa, ja jaetaan pinta useaan pieneen palaseen, joiden pinta-ala on ${\displaystyle \delta A}$. Jokaisen pienen palan pinta-alavektori ${\displaystyle \delta \mathbf {A} }$ on pintaa vastaan kohtisuorassa jokaisessa pisteessä. Ainoa ero tason tilanteeseen on nyt se, etteivät pinta-alavektorit ${\displaystyle \delta \mathbf {A} }$ ole enää samansuuntaisia kaikkialla pinnalla. Edelleen palan ${\displaystyle i}$ läpäisevä pieni vuo on ${\textstyle \delta \Phi _{i}=\mathbf {F} _{i}\cdot (\delta \mathbf {A} )_{i}}$ ja kokonaisvuo näiden pienten voitten summa. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on integroituva, niin kokonaisvuo pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ läpi saadaan tutulla integraalilla:

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$. [3]

Kaarevaan pintaan liittyy joitain ominaisuuksia, joita tason tapauksessa ei välttämättä ole. Pintaelementtivektorin ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$ ja ${\displaystyle \mathbf {F} }$:n välinen kulma pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eri pisteissä on ratkaisevassa asemassa vuon kannalta. Tarkastellaan tilanteita, joissa vektorikenttä on kaikkialla pinnan tangenttitason suuntainen tai pintaa vastaan kohtisuorassa (ks. kuva alla). Ensimmäisessä tilanteessa ${\displaystyle \mathbf {F} \perp \mathrm {d} \mathbf {A} }$ kaikkialla pinnalla ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, joten pistetulon ominaisuuksien nojalla ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$. Tällöin kokonaisvuokin on nolla. Toisessa tilanteessa ${\displaystyle \mathbf {F} \,||\,\mathrm {d} \mathbf {A} }$ (voidaan olettaa, että ${\displaystyle \mathbf {F} \uparrow \uparrow \mathrm {d} \mathbf {A} }$) kaikkialla pinnalla ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, joten pistetulon ominaisuuksien nojalla ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =F\,\mathrm {d} A}$. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$:n pituus on lisäksi vakio kaikkialla pinnalla ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, niin kokonaisvuo on:

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iint _{\mathcal {S}}F\,\mathrm {d} A=F\iint _{\mathcal {S}}\mathrm {d} A=FA}$,

missä ${\displaystyle A}$ on pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ pinta-ala.

Pinta ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ja vektorikentän kaksi erikoistapausta. Vasemmalla: Vektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on kaikkialla pinnan tangenttitason suuntainen. Vuo on nolla. Oikealla: Vektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on kaikkialla pintaa vastaan kohtisuorassa. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on kaikkialla yhtä suuri, niin vuo on ${\displaystyle FA}$.

Huom! Jos pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ yksikkönormaali onkin määritelty pinnan toiselle puolelle, niin ${\displaystyle \mathbf {F} \uparrow \downarrow \mathrm {d} \mathbf {A} }$ ja ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-F\,\mathrm {d} A}$.

Vektorikenttä voi läpäistä myös suljetun pinnan, kuten laatikon, sylinterin, pallon tai muun mielivaltaisen muotoisen pinnan. Koska mikä tahansa pinta voidaan konstruoida kaarevista pinnoista ja/tai tasoista, ei vuon laskeminen suljetun pinnan läpi eroa mitenkään edellisistä tapauksista. Ainoastaan merkinnät muuttuvat hieman. Jos ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on integroituva vektorikenttä ja ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ on suljettu pinta, niin ${\displaystyle \mathbf {F} }$:n vuota pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ läpi merkitään lisäämällä integraalimerkkiin pieni ovaali:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\\\Phi _{F}&=\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} A\end{aligned}}}$ [4]

Integraalimerkkiin lisätty ovaali korostaa vain sitä, että integrointi suoritetaan suljetun pinnan yli. Laskuteknisesti integraali on vain tavanomainen vuointegraali.

Suljetun pinnan yksikkönormaalin ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ suunta on huomionarvoinen seikka. Toisin kuin avoimella pinnalla, suljetulle pinnalle voidaan yksiselitteisesti osoittaa sisä- ja ulkopuoli. Jos yksikkönormaali osoittaa pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ sisäpuolelle, sitä sanotaan sisäyksikkönormaaliksi ja jos yksikkönormaali osoittaa pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ulkopuolelle, sitä sanotaan ulkoyksikkönormaaliksi[5]. Käytännön sovelluksissa on mielekkäämpää käyttää pinnalle ulkoyksikkönormaalia, sillä siten voidaan saada tietoa suljetun pinnan sisäisestä vektorikentästä ''kurkistamatta'' itse pinnan sisään[4]. Kuten ei-suljetun pinnan tapauksessa, yksikkönormaalin vaihtaminen ulkoa sisälle tai toisin päin muuttaa vuon vastaluvukseen. Ts. ${\textstyle \mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} A=-(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} A)}$.

Laske vektorikentän ${\textstyle \mathbf {F} (x,y,z)=y\,\mathbf {i} -x\,\mathbf {j} +4\,\mathbf {k} }$ vuo pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, läpi, kun ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ on pinta ${\textstyle z=1-x^{2}-y^{2}}$rajoitettuna kolmiulotteisen karteesisen koordinaatiston ensimmäiseen kahdeksasosaan (${\textstyle x\geq 0}$, ${\textstyle y\geq 0}$ ja ${\textstyle z\geq 0}$).

Ratkaisu:

Funktio ${\textstyle z=f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}}$ kuvaa alaspäin aukeavaa pyörähdysparaboloidia, jonka pyörähdysakseli on ${\textstyle z}$-akseli. Koska ${\textstyle f(x,y)}$ on sileä funktio, on sen pintaelementtivektori:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} =\mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} A=\pm \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathbf {i} -{\frac {\partial f}{\partial y}}\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.[7]

Etumerkki ${\textstyle \pm }$ viittaa siihen, että yksikkönormaaleja on kaksi vastakkaissuuntaista. Jos nyt valitaan pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ yksikkönormaali siten, että se osoittaa pinnasta positiivisen ${\textstyle z}$-akselin puoleiseen suuntaan, niin:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {A} &=+\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathbf {i} -{\frac {\partial f}{\partial y}}\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=(2x\,\mathbf {i} +2y\,\mathbf {j} +\mathbf {k} )\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

Pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ projektio ${\displaystyle xy}$-tasolle on neljännesympyrä ${\textstyle x^{2}+y^{2}\leq 1}$, ${\textstyle x\geq 0}$ ja ${\textstyle y\geq 0}$ (ympyrän kehän saa sijoittamalla ${\textstyle z=0}$ yhtälöön ${\textstyle z=1-x^{2}-y^{2}}$). Integrointirajoiksi saadaan tällöin esimerkiksi ${\textstyle 0\leq x\leq 1}$ ja ${\textstyle 0\leq y\leq {\sqrt {1-x^{2}}}}$. Vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vuo pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ läpi on tällöin:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{F}&=\iint _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iint _{\mathcal {S}}(y\,\mathbf {i} -x\,\mathbf {j} +4\mathbf {k} )\cdot (2x\,\mathbf {i} +2y\,\mathbf {j} +\mathbf {k} )\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\iint _{\mathcal {S}}(2xy-2xy+4)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{\mathcal {S}}4\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=4\int _{x=0}^{1}\mathrm {d} x\int _{y=0}^{\sqrt {1-x^{2}}}\mathrm {d} y=4\int _{x=0}^{1}\mathrm {d} x\,{\Bigg |}_{y=0}^{\sqrt {1-x^{2}}}y\\&=4\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=4\,{\Bigg |}_{0}^{1}\left({\frac {x}{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}\arcsin x\right)\\&=2\arcsin(1)-2\arcsin(0)=2\cdot {\frac {\pi }{2}}-2\cdot 0\\&=\pi \end{aligned}}}$

Huom! Jos oltaisiin valittu pinnan yksikkönormaali toisin päin, olisi vastaus ${\displaystyle -\pi }$.

Huom! Napakoordinaatteja käyttämällä integrointi olisi sujunut helpommin, mutta esimerkin oli tarkoitus olla hivenen abstrakti.

Laske vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=x\,\mathbf {i} +y\,\mathbf {j} +z\,\mathbf {k} }$ vuo ulos sylinterin ${\textstyle x^{2}+y^{2}\leq a^{2}}$, ${\textstyle -h\leq z\leq h}$ pinnasta. ${\textstyle a>0}$ ja ${\textstyle h>0}$ ovat vakioita.

Ratkaisu:

Pinta ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ on nyt sylinteri, jonka säde on ${\displaystyle a}$, korkeus ${\displaystyle 2h}$ ja keskiakseli ${\textstyle z}$-akseli. Tämän vuoksi tehtävä on helpointa ratkaista sylinterikoordinaateilla. Osoittautuu, että sylinterikoordinaattimuunnoksen jälkeen vektorikenttä on ${\displaystyle \mathbf {F} (r,\theta ,z)=r\,\mathbf {e} _{r}+z\,\mathbf {k} }$. Jaetaan pinta ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ kolmeen eri pintaan:

1. Sylinterin kansi on taso ${\textstyle z=h}$, ${\textstyle 0\leq r\leq a}$. Kannessa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina ${\textstyle \mathbf {k} }$. Pinta-ala-alkio on ${\textstyle \mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }$.
2. Sylinterin pohja on taso ${\textstyle z=-h}$, ${\textstyle 0\leq r\leq a}$. Pohjassa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina ${\textstyle -\mathbf {k} }$. Pinta-ala-alkio on sama kuin kannessa.
3. Sylinterin vaippa on pinta ${\textstyle r=a}$, ${\textstyle -h\leq z\leq h}$. Vaipassa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina ${\textstyle \mathbf {e} _{r}}$. Pinta-ala-alkio on ${\textstyle \mathrm {d} A=a\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z}$.

Vuo voidaan laskea jakamalla vuointegraali paloihin normaalien integrointisääntöjen mukaisesti.

Kansi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\text{kansi}}\mathbf {F} (r,\theta ,h)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{kansi}}(r\,\mathbf {e} _{r}+h\,\mathbf {k} )\cdot \mathbf {k} \,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\iint _{\text{kansi}}hr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =h\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{a}r\,\mathrm {d} r\\&=h\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta =\pi a^{2}h\end{aligned}}}$

Pohja:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\text{pohja}}\mathbf {F} (r,\theta ,-h)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{pohja}}(r\,\mathbf {e} _{r}-h\,\mathbf {k} )\cdot (-\mathbf {k} )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\iint _{\text{pohja}}hr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =h\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{a}r\,\mathrm {d} r\\&=h\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta =\pi a^{2}h\end{aligned}}}$

Vaippa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\text{vaippa}}\mathbf {F} (a,\theta ,z)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{vaippa}}(a\,\mathbf {e} _{r}+z\,\mathbf {k} )\cdot \mathbf {e} _{r}\,a\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z\\&=\iint _{\text{vaippa}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z=a^{2}\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{z=-h}^{h}\mathrm {d} z\\&=a^{2}\int _{0}^{2\pi }2h\,\mathrm {d} \theta =4\pi a^{2}h\end{aligned}}}$

Vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vuo pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ läpi on tällöin:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&\\\Phi _{F}&=\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=\iint _{\text{pohja}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{\text{kansi}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{\text{vaippa}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=\pi a^{2}h+\pi a^{2}h+4\pi a^{2}h\\&=6\pi a^{2}h\end{aligned}}}$

Pääartikkeli: Gaussin laki sähkökentille

Laske vektorikentän

${\displaystyle \mathbf {E} (r,\varphi ,\theta )=k{\frac {Q}{r^{2}}}\,\mathbf {e} _{r}}$,

missä ${\displaystyle k}$ ja ${\displaystyle Q}$ ovat vakioita ja ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$ on pallokoordinaatiston radiaalinen kantavektori, vuo ${\displaystyle R}$-säteisen, origokeskisen pallopinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ läpi (sisältä ulos).

Ratkaisu:

Tehtävä on helpointa ratkaista pallokoordinaateissa. Pinnan ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ulkoyksikkönormaali on tällöin aina ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$. Ratkaistaan vuo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}=&\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathbf {E} (R,\varphi ,\theta )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oiint _{\,{\mathcal {S}}}k{\frac {Q}{R^{2}}}\,\mathbf {e} _{r}\cdot \mathbf {e} _{r}\,\mathrm {d} A\\&=k{\frac {Q}{R^{2}}}\underbrace {\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathrm {d} A} _{={\text{pallon pinta-ala}}}=k{\frac {Q}{R^{2}}}\cdot 4\pi R^{2}\\&=4\pi kQ\end{aligned}}}$

Sijoittamalla ${\displaystyle k=(4\pi \varepsilon _{0})^{-1}}$ päädytään Gaussin lakiin, joka kertoo suljetun pinnan sisällä olevan sähkövarauksen ${\displaystyle Q}$ aiheuttaman sähkökentän vuon suljetun pinnan läpi tyhjiössä. Tässä ${\displaystyle \mathbf {E} }$ tarkoittaa sähkökentän voimakkuutta ja ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ tyhjiön permittiivisyyttä.