Virtafunktio

Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}(x,y,z)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z)\,\mathbf {k} }$. Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)=0}$,[2]

missä

${\textstyle \rho }$ on virtaavan fluidin tiheys,

${\textstyle t}$ on aika ja

${\textstyle \nabla }$ on osittaisdifferentiaalioperaattori ''nabla''.

Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: ${\textstyle x}$, ${\textstyle y}$, ${\textstyle z}$ ja ${\textstyle t}$. Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta.[1] Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät ${\textstyle xy}$-tasossa, niin pätee

${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=0}$.

Määritellään nyt virtafunktio ${\displaystyle \psi (x,y)}$ siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=0}$.

Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}}\\\displaystyle {v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}},\end{cases}}}$

jolloin virtauksen nopeus saa muodon

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {i} \,{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-\mathbf {j} \,{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$.[1]

Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein ${\displaystyle \mathbf {v} (r,\theta )=v_{r}(r,\theta )\,\mathbf {\hat {e}} _{r}+v_{\theta }(r,\theta )\,\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$, on virtafunktio määriteltävä siten, että

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {v_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}\\\displaystyle {v_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}.\end{cases}}}$[1]

Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja ${\displaystyle z}$-akselin suuntaista: ${\displaystyle \mathbf {v} (r,\theta ,z)=v_{r}(r,\theta ,z)\,\mathbf {\hat {e}} _{r}+v_{z}(r,\theta ,z)\,\mathbf {k} }$. Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}}\\\displaystyle {v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}.\end{cases}}}$[1]

Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. ${\textstyle xy}$-tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})=0}$.[1]

Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\rho v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}}\\\displaystyle {\rho v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}.\end{cases}}}$[1]

Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{v_{x}}}={\frac {\mathrm {d} y}{v_{y}}}}$,[3]

eli ${\displaystyle v_{x}\,\mathrm {d} y-v_{y}\,\mathrm {d} x=0}$. Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y=0}$.

Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:

${\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y}$.

Virtafunktion differentiaalille siis pätee

${\displaystyle \mathrm {d} \psi =0}$,

eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla.[1] Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.

Pääartikkeli: Vuo

Virtafunktio on fysikaalinen tulkinta on virtaukseen kuvitellun tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alueen läpi kulkeva tilavuusvuo ${\displaystyle \mathrm {d} \Phi _{V}=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\,\mathrm {d} A=\mathrm {d} \psi }$. Kolmiulotteinen tarkkailupinta on tässä kuvattu ylhäältä päin.

Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon ${\displaystyle \Phi _{V}}$ (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus ${\displaystyle z}$-akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on

${\displaystyle \mathrm {d} \Phi _{V}=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\,\mathrm {d} A}$,[1]

missä

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {i} \,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}-\mathbf {j} \,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}}$

on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \Phi _{V}&=\left(\mathbf {i} \,{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-\mathbf {j} \,{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)\cdot \left(\mathbf {i} \,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}-\mathbf {j} \,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\right)\,\cdot 1\cdot \mathrm {d} s\\&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y\\&=\mathrm {d} \psi \end{aligned}}}$

Kahden virtaviivan, ${\displaystyle s_{1}}$ ja ${\displaystyle s_{2}}$, rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:

${\displaystyle \Phi _{V}=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\,\mathrm {d} A=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathrm {d} \psi =\psi (s_{2})-\psi (s_{1})}$.[1]

Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)

Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} (x,y)=-\mathbf {k} \,\nabla ^{2}\psi (x,y)}$,[1]

jossa ${\textstyle \mathbf {k} }$ on karteesisen koordinaatiston positiivisen ${\textstyle z}$-akselin suuntainen yksikkövektori.

Pääartikkeli: Navierin−Stokesin yhtälöt

Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\rho \mathbf {g} -\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} }$,[2]

missä

${\textstyle \mathbf {g} }$ on putoamiskiihtyvyys,

${\textstyle p}$ on paine ja

${\textstyle \mu }$ on fluidin viskositeetti.

Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota ${\textstyle \psi }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{2}\left(\nabla ^{2}\psi \right)}$,[1]

missä ${\textstyle \nu =\mu /\rho }$ on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja ${\textstyle \psi }$. Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.

Pääartikkeli: Laplacen yhtälö

Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi ${\displaystyle \nu =0}$ ja ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$. Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$.[1]