Virhefunktio

Virhefunktio on pariton funktio

${\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)\,}$

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

${\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=(\operatorname {erf} (z))^{*}\,}$.

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}$

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {erf} (x)=(-1)^{n-1}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}H_{n-1}(x)e^{-x^{2}}}$,

missä ${\displaystyle H_{k}(x)}$ on ${\displaystyle k}$:s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)dx=x\;\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}}$,

missä

${\displaystyle c_{n}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {c_{m}c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}},\;c_{0}=1}$

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion ${\displaystyle \Phi (x)}$ välillä on yhteys:

${\displaystyle erf(x)=2\Phi (x)-1}$,

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {\operatorname {erf} (x)+1}{2}}}$.

Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\Phi (x)=0}$,

kun taas

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {erf} (x)=-1}$

Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementti määritellään

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)\,}$

tai yhtäpitävästi integraalina

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=\int _{x}^{\infty }e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-2y=0}$.

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}$

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

${\displaystyle \int \operatorname {erfc} (x)dx=x\;\operatorname {erfc} (x)-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

• Virhefunktio Mathworldissa (englanniksi)
• Virhefunktion komplementti Mathworldissa (englanniksi)