Vektorikenttä

Olkoon F avoimen joukon ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ funktio, joka liittää vektorin v(x) jokaiseen pisteeseen ${\displaystyle x\in U}$. Toisin sanoen F on funktio avaruudesta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ avaruuteen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Yleisesti funktiota F merkitään seuraavasti:

${\displaystyle F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j}$

${\displaystyle F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k}$

riippuen siitä, ollaanko kaksi- vai kolmiulotteisessa avaruudessa. Funktioita P,Q ja R kutsutaan skalaarifunktioiksi.

Vektorikentät nousivat esiin alkujaan 1800-luvun fyysikoiden keskuudessa varsinkin magnetismin yhteydessä. Vektorikentät formalisoi Michael Faraday, jonka mielestä itse kenttä tulisi olla tutkimuksen kohteena, kun tutkitaan voimia. Magneettikentän lisäksi Faraday mallinsi vektorikentiksi sähkö- ja valokentän.

Tarkastellaan vektorikenttää ${\displaystyle F(x,y)=-yi+xj}$ tasossa. Jotta voisimme mallintaa kentän, on meidän saatava arvoja funktiosta F. Lasketaan arvot funktiolle tason eri pisteissä ja tarkastellaan tilannetta normaalissa xy-koordinaatistossa.

${\displaystyle F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j}$

${\displaystyle F\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)=-\left(-{\frac {1}{2}}\right)i+{\frac {1}{2}}j={\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j}$

${\displaystyle F\left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j}$

Tämä kertoo meille, että pisteeseen ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ sijoitamme vektorin ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j}$, pisteeseen ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}$ vektorin ${\displaystyle {\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j}$ ja pisteeseen ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right)}$ vektorin ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j}$. Voimme jatkaa tätä vektoreiden etsimistä useammassa pisteessä ja saamme mallinnettua artikkelin kuvan kaltaisen vektorikentän.

• Konservatiivinen kenttä
• Kenttäviiva
• Ekvipotentiaali

• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Pauls Online Notes : Calculus III – Vector Fields
• Ruohonen, Keijo: Vektorikentät (Arkistoitu – Internet Archive), Tampereen teknillinen yliopisto, 2011

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.