Ultraviolettikatastrofi

Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.

Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: ${\displaystyle \nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}}$, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: ${\displaystyle E(x,y,z)=\sin(k_{x}x)\sin(k_{y}y)\sin(k_{z}z)}$. Huomaa, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.

Ratkaisua vastaa aaltovektori ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ jolle on voimassa ${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$, missä ${\displaystyle \omega }$ on aaltoliikkeen kulmataajuus.

Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: ${\displaystyle k_{x}={\frac {l\pi }{L}}}$, ${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{L}}}$, ${\displaystyle k_{z}={\frac {n\pi }{L}}}$, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa ${\displaystyle k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2})}$ ja lopuksi ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2})={\frac {\pi ^{2}p^{2}}{L^{2}}}}$, missä ${\displaystyle p^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2}}$.

Jokainen kombinaatio (l, m, n) on itsenäinen systeemin moodi.

Suurelle järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille ${\displaystyle \nu ->\nu +d\nu }$ laskemalla pisteiden määrän k-avaruudessa intervallilla ${\displaystyle k->k+dk}$, joka vastaa intervallia ${\displaystyle \nu ->\nu +d\nu }$. Koska l, m, ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa p-säteisestä pallosta. p-säteisen ja dp-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on ${\displaystyle 4\pi p^{2}dp}$, joten moodien määrä oktantissa on ${\displaystyle dN(p)=N(p)dp={\frac {1}{8}}4\pi p^{2}dp}$. Koska ${\displaystyle k=\pi p/L}$ ja ${\displaystyle dk=\pi dp/L}$, saamme ${\displaystyle dN(p)={\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk}$. Koska ${\displaystyle L^{3}=V}$, eli laatikon tilavuus ja ${\displaystyle k=2\pi \nu /c}$, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: ${\displaystyle dN={\frac {V}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk={\frac {V}{2\pi ^{2}}}{\frac {8\pi ^{3}\nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu ={\frac {4\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu }$

Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (l, m, n) vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten ${\displaystyle dN={\frac {8\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu }$ ja yksikkötilavuutta kohti ${\displaystyle dN={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu }$.

Sähkömagneettiset aallot ovat termodynaamisessa tasapainossa tietyssä lämpötilassa T. Säteily saavuttaa termodynaamisen tasapainon vuorovaikuttamalla boksin seinän materiaalin kanssa. Jokainen aalto on yhdistetty harmoniseen värähtelijään seinässä, jolla on sama taajuus. Olkoon aaltomoodia vastaava energia E. Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on ${\displaystyle du=u(\nu )d\nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}Ed\nu }$ josta ${\displaystyle u(\nu )={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}E}$. Tasajakoteoreeman (engl. theorem of equipartition) mukaan harmonisen värähtelijän keskienergia termaalisessa tasapainossa on ${\displaystyle {\bar {E}}=kT}$, missä k = Boltzmannin vakio ja T systeemin lämpötila. Tämä siis seurausta, koska harmonisella värähtelijällä on kaksi vapausastetta, eli kaksi itsenäistä jonkun suureen neliöstä riippuvaa energiatermiä vaikuttamassa sen kokonaisenergiaan, ja jokainen vapausaste saa keskimäärin energiaa 0,5kT edestä termaalisessa tasapainossa. ${\displaystyle {\bar {E}}\,\!}$ on siis jokaiseen aaltomoodiin yhdistettävä energia, jolloin mustan kappaleen spektri klassisesti olisi ${\displaystyle u(\nu )={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\bar {E}}={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$.

Tämä kuitenkin divergoi äärettömään suurilla taajuuksilla

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }u(\nu )d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}d\nu ->\infty }$

eli päädymme ultraviolettikatastrofiin. Huolimatta epäonnistumesta korkeilla taajuuksilla, tämä laki toimii hyvin pienillä taajuuksilla.

Max Planck ratkaisi ongelman esittämällä, että sähkömagneettinen energia ei seurannut klassista määritelmää vaan, että se pystyi vain oskilloimaan tai emittoimaan tietyn kokoisia energiapaketteja, joiden suuruus on suhteessa taajuuteen (kuten Planckin laki esittää). Tällä on se vaikutus, että mahdollisten moodien lukumäärä vähenee annetulla energialla korkeilla taajuuksilla kuten myös keskimääräinen energia noilla taajuuksilla. Säteilyteho lähestyy lopulta nollaa taajuuden kasvaessa äärettömyyksiin ja kokonaissäteilytehosta tulee äärellinen.

Säteilytehon kaava ideaalisysteemiä (musta kappale) varten oli yhdenmukainen kokeiden kanssa ja sitä alettiin kutsua Planckin laiksi mustan kappaleen säteilystä. Aikaisempien kokeiden perusteella Planck pystyi määrittelemään sen parametrin arvon, joka nykyisin tunnetaan Planckin vakiona. Energiapaketteja alettiin myöhemmin kutsua fotoneiksi ja ne olivat avainasemassa sähkömagneettisuuden kvanttimäärittelyssä.

• Charles Kittel ja Herbert Kroemer: ”4”, Thermal Physics. 2nd ed. New York: W. H. Freeman and Company, 1980. (englanniksi)
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu ja Franck Laloë: Quantum Mechanics: Volume One, s. 624–626. Paris: Hermann, 1977. (englanniksi)