Ulkomitta

Olkoon ${\displaystyle X}$ joukko. Kuvaus ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$ on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

1. Tyhjälle joukolle pätee ${\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}$ [1]
2. Jos ${\displaystyle A\subset B\subset X}$, niin ${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$ [1]
3. Jos ${\displaystyle A_{i}\subset X}$ kaikilla ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, niin ${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})}$. [1]

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi. [1]

Jos ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ on ulkomitta ${\displaystyle X}$:ssä, niin joukkoa ${\displaystyle A\subset X}$ kutsutaan ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla ${\displaystyle E\subset X}$ pätee

${\displaystyle {\mu }^{*}(E)={\mu }^{*}(E\cap A)+{\mu }^{*}(E\cap \complement A)}$.

Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{{\mu }^{*}}(X)=\lbrace A\subset X\mid A{\mbox{ on }}{\mu }^{*}{\mbox{-mitallinen}}\rbrace ,}$

missä X ilmaisee perusjoukon ja ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ joukossa annetun ulkomitan.

Jos ${\displaystyle B_{1}\subset B_{2}\subset ...}$ ovat ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisia joukkoja, niin

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu ^{*}(B_{n})}$.

Jos ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset ...}$ ovat ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisia joukkoja ja ${\displaystyle \mu ^{*}(C_{1})<\infty }$, niin

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }C_{i}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu ^{*}(C_{n})}$.

Jos joukot ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, ovat ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisia ja erillisiä, niin

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu ^{*}(A_{i})}$.

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$ on ulkomitta, niin sen rajoittuma ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisiin joukkoihin eli funktio ${\displaystyle \mu ^{*}|{\mathcal {M}}_{\mu ^{*}}(X)}$ on mitta X:ssä.

• Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.

• Ulkomitta ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella ${\displaystyle A\subset X}$ on olemassa ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallinen joukko ${\displaystyle B}$ s.e. ${\displaystyle A\subset B}$ ja ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(B)\,}$. Jos vielä ${\displaystyle \mu ^{*}(X)<\infty }$, niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko ${\displaystyle A\subset X}$ on ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallinen jos ja vain jos ${\displaystyle \mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(\complement A)=\mu ^{*}(X)}$.

• Jos ${\displaystyle (X,d)\,}$ on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta ${\displaystyle d(A,B)>0\,}$ seuraa ominaisuus ${\displaystyle \mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B)}$ kaikilla ${\displaystyle A,B\subset X\,}$. Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Jos ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ on ulkomitta joukossa X ja ${\displaystyle A\subset X\,}$, niin funktio ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}}$ on ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisia. Toisin sanoen joukot ${\displaystyle f^{-1}(G)\,}$, ${\displaystyle f^{-1}(\{-\infty \})\,}$ ja ${\displaystyle f^{-1}(\{+\infty \})\,}$ ovat ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} }$.

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallinen jos ja vain jos joukko

${\displaystyle \lbrace x\in A:f(x)>c\rbrace }$

on ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$-mitallinen kaikilla ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

• Borel-joukko
• Carathéodoryn konstruktio
• Hausdorffin mitta
• Lebesguen mitta