Topologinen sulkeuma

Topologinen sulkeuma on topologisen avaruuden osajoukon kosketuspisteiden joukko. [1] Yhtäpitävästi se voidaan määritellä myös pienimmäksi suljetuksi joukoksi, joka sisältää annetun joukon.[2]

Olkoon ${\displaystyle (X,T)}$ topologinen avaruus. Joukon ${\displaystyle A\subset X}$ sulkeuma sisältää kaikki ne pisteet ${\displaystyle x\in X}$, joiden jokainen ympäristö kohtaa ${\displaystyle A}$:n. Joukon ${\displaystyle A}$ sulkeumaa merkitään ${\displaystyle {\bar {A}}=cl(A)=\{x\in X\ |\ x{\text{:n jokainen ymparisto }}U\in T\ {\text{kohtaa }}A{\text{:n}}\}}$.

Joukko on suljettu, jos ja vain jos sen sulkeuma on sama kuin joukko itse.[2] Esimerkiksi reaalilukujen joukossa suljetun välin sulkeuma on väli itse. avoimen välin sulkeuma on vastaava suljettu väli, jolla on samat päätepisteet.