Toisen kertaluvun derivaatta

Funktion ${\displaystyle f(x)\!}$ toisen kertaluvun derivaatta merkitään yleensä ${\displaystyle f''(x)\!}$, jossa

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

Muita käytettyjä merkintöjä ovat:

${\displaystyle y''=f''(x)={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=D_{x}^{2}y=D_{x}^{2}f(x).}$

Olkoon

${\displaystyle f(x)=x^{3}.\!}$

Funktion ƒ derivaatta on funktio

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.\!}$

Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta on funktion ƒ′ derivaatta

${\displaystyle f''(x)=6x.\!}$

Jos funktiolla ${\displaystyle \ f}$ on pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$ olemassa toisen kertaluvun derivaatta, se voidaan esittää raja-arvona:

${\displaystyle f''(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x_{0}+h)-f'(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+2h)-2f(x_{0}+h)+f(x_{0})}{h^{2}}}.}$

Pääartikkeli: Taylorin sarja

Funktion approksimointiin voidaan käyttää erilaisia esimerkiksi korkeampia derivaattoja käyttäviä polynomeja taikka potenssi­sarjoja. Eräät esimerkit tällaisista ovat Taylorin polynomi ja Taylorin sarja.

Funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$ on:

${\displaystyle T_{2}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}.}$

Maclaurinin polynomi on Taylorin polynomin erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo:

${\displaystyle T_{2}(x)=f(0)+f'(0)(x)+{\frac {f''(0)}{2}}(x)^{2}.}$

Taylorin sarja on yksinkertaistettu versio potenssisarjasta. Taylorin sarjalla funktiolle saadaan seuraava sarjakehitelmä:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}.}$

Edellisessä ! tarkoittaa kertomaa ja ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$ funktion ${\displaystyle \ f}$ n:ttä derivaattaa. Maclaurinin sarja on Taylorin sarjan erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo.

Pääartikkeli: Kiihtyvyys

Tarkastellaan objektia, joka liikkuu suoralla (esimerkiksi x-akselilla). Sen paikka ${\displaystyle \ x}$ saadaan ajan funktiosta ${\displaystyle x=s(t)}$. Keski­nopeudeksi ${\displaystyle v_{avg}}$ aikavälillä ${\displaystyle [t,t+h]}$ saadaan

${\displaystyle v_{avg}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {s(t+h)-s(t)}{h}}.}$

Nopeus ${\displaystyle v(t)}$ ajanhetkellä ${\displaystyle \ t}$ on tämän keskinopeuden raja-arvo, kun ${\displaystyle \ h\to 0}$. Siten

${\displaystyle v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {s(t+h)-s(t)}{h}}=s'(t).}$

Nopeus ajanhetkellä ${\displaystyle \ t}$ on siis paikan derivaatta ajan suhteen. Tämän derivaatan arvo voi olla luonnollisesti myös nolla tai negatiivinen, joten nopeus kertoo myös liikesuunnan.

Derivoimalla edelleen nopeus ajan suhteen saadaan objektin kiihtyvyys ajanhetkellä ${\displaystyle t}$

${\displaystyle a(t)={\frac {\Delta v}{\Delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {s'(t+h)-s'(t)}{h}}=s''(t).}$

Kiihtyvyys on siis paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen.

• Derivaatta
• Käännepiste
• Taylorin sarja

• Adam, Robert A.: Calculus: A Complete Course. Ron Doleman, 1999. ISBN 0-201-39607-6. (englanniksi)
• Käyrän kuperuus. Internetix-materiaalit. Internetix-materiaalit Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (suomeksi)

• Funktion approksimointi Taylorin polynomilla. Kivelä S., 2002. MatTa: webMathematica Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (suomeksi)

• Second derivative as simple limit. PlanetMath: Calculus. PlanetMath Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (englanniksi)

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.