Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

missä on tapahtumien joukko ja jokin tapahtuma joukossa .

Toinen aksiooma

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

.

Kolmas aksiooma

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai -additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
.

Seurauksia

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus

Tyhjän joukon todennäköisyys

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Todistukset

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys

Määritellään ja , missä kaikilla . On helposti nähtävissä, että joukot ovat pistevieraita ja . Siten kolmannesta aksioomasta saamme

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on , joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus . Tyhjän joukon todennäköisyys voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

Jos , saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä , joka on äärellinen. Siis ja .

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Ensimmäisen aksiooman nojalla

ja , mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.