Luonnollinen anomalia

Kappaleen liikkuessa kartioleikkauksen muotoisella radalla (ympyrä, ellipsi, paraabeli tai hyperbeli), sen paikkavektori (tai oikeammin sen pituus) voidaan ilmaista napakoordinaatistossa kulman ${\displaystyle \nu }$ funktiona muodossa

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \nu }}}$

Tässä ${\displaystyle a}$ on radan isoakselin puolikas ja ${\displaystyle e}$ radan eksentrisyys ja radan polttopiste sijaitsee koordinaatiston origossa. Kulmaa ${\displaystyle \nu }$ kutsutaan kappaleen luonnolliseksi anomaliaksi.

Koska taivaankappaleet liikkuvat ellipsiradoilla, niiden nopeus radan eri kohdissa on erilainen. Asiaa hankaloittaa lisäksi se, että rata on (ympyrärataa lukuun ottamatta) epäsymmetrinen polttopistekeskisessä koordinaatistossa. Tästä syystä luonnollinen anomalia muuttuu vaihtelevalla nopeudella, eikä se siis ole lainkaan yksinkertainen ajan funktio. Tämä tekee siitä matemaattisesti hankalan käsiteltävän, eikä luonnollista anomaliaa käytetä radan laskemisessa käytännössä juuri koskaan oppikirjajohdantoja lukuun ottamatta.

Luonnollisen anomalian 'ν ja eksentrisen anomalian E suhde on

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}},\,}$

tai

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.}$

paikavektorin anomalioiden suhde on

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}$

ja

${\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {\nu })}\,\!}$

Missä a kappaleen radan isoakselin puolikas (segmentti cz). z on periapsis eli lähin paikka polttopistettä s, mutta myös kaukaisin piste apuympyrän keskipisteestä c.

• Eksentrinen anomalia
• Keskianomalia
• Ellipsirata