Tilavuusintegraali

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona ${\displaystyle A=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times [a_{3},b_{3}]}$ Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on[2] ${\displaystyle \int _{A}f\ =\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\int _{a_{3}}^{b_{3}}f(x,y,z)dxdydz}$

Jos ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:[2]

Valitaan suorakulmainen särmiö ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ siten, että D sisältyy A:hen eli ${\displaystyle D\subset A}$. Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio f_D siten, että

1. ${\displaystyle f(x,y,z)=f(x,y,z)}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\in D}$, ja
2. ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\notin D}$

Nyt määritellään, että

${\displaystyle \int _{D}f=\int _{D}f_{D}}$.

Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.[2]

Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:[2]

${\displaystyle \int _{D}f=\lim _{t\to \infty }\int _{D\cap R_{t}}f}$, kun ${\displaystyle R_{t}=\{(x,y,z)||x|\leq t,|y|\leq t,|z|\leq t\}}$,

mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χ_D, jonka arvo on

1. ${\displaystyle \chi _{D}(x,y,z)=1}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\in A}$, ja
2. ${\displaystyle \chi _{D}(x,y,z)=0}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\notin A}$,

Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion ${\displaystyle chi_{D}}$ tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

${\displaystyle V=\int _{D}\chi _{D}}$,

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.[2]

Koska &chi_D saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ${\displaystyle D\subset A}$), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

${\displaystyle V=\int A\chi _{D}}$.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:

${\displaystyle V=\int _{D}1}$

Katso myös: Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)

Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot ${\displaystyle D,D'\subset \mathbb {R} ^{n}}$ avoimia, ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ja ${\displaystyle {\overline {D'}}}$ kompakteja, ${\displaystyle \partial D}$ ja ${\displaystyle \partial D'}$ nollajoukkoja sekä ${\displaystyle \omega }$ bijektiivinen ${\displaystyle C^{1}}$-kuvaus, ${\displaystyle \omega :D\rightarrow D'}$. Jos ${\displaystyle f:{\overline {D'}}\rightarrow \mathbb {R} }$ on jatkuva, niin

${\displaystyle \int _{D'}f\,dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\int _{D}f(\omega )|\tau (\omega )|\,dx_{1}\ldots \,dx_{n}}$,

missä ${\displaystyle \tau (\omega )}$ on kuvauksen ${\displaystyle \omega }$ jacobiaani eli Jacobin determinantti

${\displaystyle \tau (\omega )=det\omega '={\begin{vmatrix}\partial _{1}\omega _{1}&\cdots &\partial _{n}\omega _{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\partial _{1}\omega _{n}&\cdots &\partial _{n}\omega _{n}\end{vmatrix}}}$,

ja ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ovat ${\displaystyle \omega }$:n koordinaattifunktiot.[3]

Kuvaukselle ${\displaystyle \omega$ :\left(0,R\right)\times \left[0,2\pi \right]\times \left[0,\pi \right)\rightarrow B({\overline {0}},R)} , ${\displaystyle \omega (r,\rho ,\theta )=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$, missä

${\displaystyle {\begin{cases}\omega _{1}=r\sin \theta \cos \rho \\\omega _{2}=r\sin \theta \sin \rho \\\omega _{3}=r\cos \theta \end{cases}}}$

saadaan Jacobin determinantiksi ${\displaystyle |\tau (\omega )|=r^{2}\sin \theta }$, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\rho ,\theta )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\rho \,d\theta }$

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=r\cos \rho \\x_{2}=r\sin \rho \\x_{3}=x_{3}\end{cases}}}$

Jacobin determinantiksi ${\displaystyle |\tau (x)|=r}$ ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\rho ,z)r\,dr\,d\rho \,dz.}$

Lasketaan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla ${\displaystyle \int _{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}}$ pallokoordinaatteihin sijoituksella:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}&=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }1\cdot r^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,dr\\&=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }2\pi r^{2}\sin \theta \,d\theta \,dr\\&=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\,dr\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Pintaintegraali