Tiheysmatriisi

Oletetaan, että kvanttisysteemiä kuvaa enintään numeroituva joukko ominaistiloja ${\displaystyle |i\rangle }$. Tällöin sen tiheysmatriisi on yleisesti muotoa

${\displaystyle \rho =\sum _{ij}w_{ij}|i\rangle \langle j|,}$

missä ${\displaystyle w_{ij}}$ ovat kompleksikertoimia. Tiheysmatriisi on hermiittinen ja normalisoituva. Toisin sanoen

${\displaystyle w_{ij}^{*}=w_{ji}}$

ja

${\displaystyle {\rm {Tr}}[\rho ]=\sum _{i}w_{ii}=1,}$

missä Tr on matriisin jälki. Tiheysmatriisin diagonaalialkiot ${\displaystyle w_{ii}}$ kuvaavat tilojen ${\displaystyle |i\rangle }$ todennäköisyyksiä, ja ei-diagonaalialkiot tilojen välisiä koherensseja.

Observaabelin ${\displaystyle O}$ odotusarvo ${\displaystyle \langle O\rangle }$ voidaan laskea tiheysmatriisista käyttäen kaavaa

${\displaystyle \langle O\rangle ={\rm {Tr}}[\rho {\hat {O}}]=\sum _{ij}w_{ij}O_{ji},}$

missä ${\displaystyle O_{ji}}$ on operaattorin ${\displaystyle {\hat {O}}}$ matriisielementti.

Tiheysmatriisi toteuttaa Liouvillen yhtälön

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho ],}$

missä ${\displaystyle \hbar }$ on Diracin vakio ja ${\displaystyle H}$ on systeemin Hamiltonin operaattori. Avoimissa systeemeissä kiinnostavan osasysteemin tiheysmatriisia tutkittaessa saadaan yllä olevaan yhtälöön ympäristöä kuvaava lisätermi. Tuon lisätermin avulla voidaan tutkia mm. kvanttisysteemin relaksaatiota ja vaihekoherenssin menetystä.

• Schrödingerin kuva
• Heisenbergin kuva