Tiheysfunktio

Pääartikkeli: Kertymäfunktio

Todennäköisyyksien laskemiseksi tulee tiheysfunktiosta ottaa määrätty integraali. Tämä voi tulla vaivalloiseksi tai se voi olla jopa mahdotontakin, sillä kaikille tiheysfunktioille integraalia ei voida määrittää lausekkeen muodossa (esimerkiksi normaalijakauma). Näiden tapausten todennäköisyydet lasketaan numeerisen analyysin avulla likiarvoina ja tulokset kootaan taulukoiksi.[8]

Toistuvan integroimisen välttää antamalla todennäköisyydet valmiiksi integroituna lausekkeena, jota kutsutaan kertymäfunktioksi ${\displaystyle F(x)}$. Kertymäfunktion avulla todennäköisyydet saadaan funktioiden arvojen aritmeettisilla laskutoimituksilla. Yleisin tapa on määrittää todennäköisyys tapahtumana, joka sisältää alkeistapaukset tiettyyn arvoon ${\displaystyle a}$ asti:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq a)=\int _{-\infty }^{a}f(x)dx\,.}$ [4]

Esimerkiksi eksponenttijakaumassa satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ tiheysfunktio on

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x},}$

joka on määritelty ${\displaystyle [0,\infty )}$. Sen kertymäfunktio ${\displaystyle F(x)}$ saadaan määritettyä integroimalla se ensin välin ${\displaystyle [0,a]}$ yli

${\displaystyle F(a)=P(X\leq a)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x}dx\,=-{\Big /}_{0}^{a}e^{-\lambda x}=-(e^{\lambda \cdot a}-e^{-\lambda \cdot 0})=1-e^{-\lambda a}.}$

Kun ylärajaksi merkitään ${\displaystyle x}$, saadaan kertymäfunktion lauseke

${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}.}$

Kertymäfunktiolla voidaan nyt laskea todennäköisyys integroimatta kertaakaan (parametrilla ${\displaystyle \lambda =0{,}33}$)

${\displaystyle P(0\leq X\leq 3)=P(X\leq 3)=F(3)=1-e^{-3\lambda }=1-e^{-3\cdot 0{,}33}\approx 0{,}628}$

Vaikka kertymäfunktio on todennäköisyyksien laskemisessa käytännöllisempi, tarvitaan tiheysfunktiota edelleen tunnuslukujen laskemisessa.

Tiheysfunktiolta vaaditaan yleisesti, että

${\displaystyle f(x)\geq 0}$

kaikille reaaliluvuille. Tämä varmistaa sen, että määrätyt integraalit eli todennäköisyydet olisivat positiivisia tai ainakin ei-negatiivisia.[7][1]

Määrätyn integraalin ominaisuuksista johtuen funktion äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia ei vielä estä integraalin laskemista. Integraalilaskennossa jokainen yksittäisen pisteen integraali saa arvokseen nolla, joten äärellinen määrä puuttuvia pisteitä ei pienennä määrätyn integraalin arvoa. Asia muuttuu silloin, jos epäjätkuvuuskohtia on numeroituvasti tai ylinumeroituvasti ääretön määrä.[6]

Mikä tahansa funktio ei voi olla tiheysfunktio. Ei-negatiivisuuden lisäksi tiheysfunktion avulla muodostettavat todennäköisyydet tulisivat kaikki olla satunnaismuuttujan todennäköisyyksien mukaisia. Tämä ominaisuus johtaa myös siihen, että koko perusjoukon sisältävän välin ${\displaystyle \Omega$ :=[a,b]} todennäköisyys ja samalla tiheysfunktion määrätyn integraalin arvo tällä välillä on yksi:[5][1][6][4]

${\displaystyle P(\Omega )=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=1.}$

Tämä ehto normittaa funktion. Eräissä tapauksissa jälkimmäinen päätepiste voi olla ääretön tai ensimmäinen päätepiste voi olla "miinus ääretön". Silloin tulee myös epäoleellinen integraali toteuttaa ehdon [1][4]

${\displaystyle P(\Omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1.}$

Diskreetin satunnaismuuttujan kullakin yksittäisellä arvolla on nollasta poikkeava todennäköisyys. Tämä johtuu satunnaismuuttujan perusjoukon äärellisestä tai numeroituvasti äärettömästä koosta. Tämän perusteella kukin lukuarvo esiintyy "kohtuullisen" usein satunnaismuuttujan ulostulojen joukossa. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumassa mahdollisia reaalilukuarvoisia arvoja on ylinumeroituvasti ääretön määrä, jolloin yksittäisen lukuarvon esiintyminen on "äärimmäisen harvinaista". Usein tulkitaankin, että sen esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa, sillä satunnaismuuttujahan antaa aina tulokseksi joitakin lukuarvoja. Ainakaan näiden arvojen todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla", sillä silloinhan niitä ei esiintyisi ollenkaan. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, voi niiden todennäköisyyttä pitää "melkein nollana". Syntyvä paradoksi kierretään välttämällä jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksissa yksittäisten tapauksien todennäköisyyksien laskemista ja summaamista.

Todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka muodostavat lukusuoralla välejä ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]}$. Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin välin sisältävistä luvuista, lasketaan määrättyllä integraalilla [9]

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Huomaa, että edellisen selostuksen nojalla voidaan pitää seuraavia todennäköisyyksiä yhtäsuurina:

${\displaystyle P(a<X<b)=P(a\leq X<b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b),}$

sillä avoimella välillä puuttuvan päätepisteen lisäys on todennäköisyydessä vain "nollan" lisäämistä tulokseen. Tämän ymmärtää helposti määrätyn integraalin ominaisuudesta, jossa

${\displaystyle P(a\leq X\leq a)=P(X=a)=\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

Integraalin sisältävä määritelmä on käytännöllinen myös sen vuoksi, että se sallii tiheysfunktiolle joitakin yksittäisiä, eli äärellisen määrän, epäjatkuvuuskohtia ilman, että integraalin laskemisessa tulisi ongelmia.[9]

Jos epäoleelliset integraalit ovat olemassa, voidaan laskea myös

${\displaystyle P(a\leq X)=\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

${\displaystyle P(X\leq b)=\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin perusjoukon luvuista, on luonnollisesti yksi (tapahtuu aina). Välin rajat voidaan merkitä äärettömän kauaksi toisistaan, vaikka perusjoukko voikin olla rajoitettu. Tällöin [10][9]

${\displaystyle P(\Omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1,}$

raja-arvon määrittämässä mielessä.