Thaleen lause

Ympyrän keskipisteestä sivuille vedetyt normaalit erottavat yhden suorakulmion ja kaksi pienempää, kolmion kanssa yhtenevää, kolmiota.

Käyttämällä kolmion sivuja suuntana, voidaan kolmio jakaa janoilla osiin (kuva vasemmalla). Koska kehäpisteessä kulma on suora, syntyy erikoinen tilanne. Halkaisijan keskipisteestä, joka on samalla ympyrän keskipiste, vedetään sivuja vasten normaalit, jotka osuvat sivujen keskipisteisiin. Tämä vastaa tilannetta, jossa pedaalipistettä O vastaavat kolmion sivujen kantapisteet ovat kolmion keskinormaaleina. Kuviosta erottuu suorakulmio ja kaksi kolmiota. Kolmiot ovat referenssikolmion kanssa yhdenmuotoiset, mutta kooltaan puolet pienempiä.

Kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmia.

Kolmio ${\displaystyle \triangle OAB}$ on tasakylkinen kolmio, sillä sivut OA ja OB ovat ympyrän säteitä ja siksi yhtäpitkät (kuva oikealla). Silloin kantakulmat ${\displaystyle \measuredangle OAB}$ ja ${\displaystyle \measuredangle ABO}$ ovat yhtäsuuret. Merkitään ne α. Samasta syystä kolmio ${\displaystyle \triangle OBC}$ on tasakylkinen, joten merkitään samansuuruiset kulmat ${\displaystyle \measuredangle BCO}$ ja ${\displaystyle \measuredangle OBC}$ luvulla β. Kulma ${\displaystyle \measuredangle ABC}$ tiedetään suoraksi kulmaksi, joten sen jakavat kulmat ovat komplementtikulmia eli α + β = 90°. Vaikuttaa siltä, että kehäpisteen eri asemat ympyrän kehällä, antavat kaikki molemmille kulmille kaikki kulmamitat 0°−90°.

Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan.

Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä P vedetään ympyrälle kaksi tangenttia, jotka sivuavat sitä pisteissä T ja T'. Thaleen lauseella voidaan löytää sivuamispisteet, kun tiedetään kulmien ${\displaystyle \measuredangle PT'O}$ ja ${\displaystyle \measuredangle OTP}$ olevan suoria. Etsitään (harpilla ja viivaimella) janan OP keskipiste H, josta mitataan ympyrän säteeksi HP tai HO. Piirretään ympyrä, joka leikkaa alkuperäistä ympyrää kahdessa pisteessä T ja T'. Näissä pisteissä kulmat ovat suoria, koska ne ovat ympyrän kehällä (Thaleen lause), joten näissä pisteissä sivuavat myös tangentit. Tangentithan ovat kohtisuorassa säteitä vastaan.

Thaleen lause: Jos kolmion kaksi kärkeä ovat ympyrän halkaisijan päätepisteet ja kolmas kärki on ympyrän kehällä, on viimeinen kulma suorakulma.

Olkoon ${\displaystyle \triangle ABC}$ ympyrän sisään piirretty kolmio, missä AC on ympyrän halkaisija. Olkoon O tämän ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrän säde OB. Nyt kolmiot ${\displaystyle \triangle AOB}$ ja ${\displaystyle \triangle BOC}$ ovat tasakylkisiä, sillä kummassakin kolmiossa on sivuinaan kaksi ympyrän sädettä. Siten pätee ${\displaystyle \measuredangle CAB=\measuredangle ABO}$, ${\displaystyle \measuredangle BCA=\measuredangle OBC}$ ja ${\displaystyle \measuredangle ABC=\measuredangle CAB+\measuredangle BCA}$. Toisaalta ${\displaystyle \measuredangle ABC+\measuredangle CAB+\measuredangle BCA=180^{\circ }}$, joten ${\displaystyle \measuredangle ABC=90^{\circ }}$.

Käänteisen Thaleen lauseen todistuksen konstruktio

Käänteinen Thaleen lause: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisijalla.

Piirretään suorakulmaisen kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ viereen sen kanssa yhtenevä kolmio ${\displaystyle \triangle CAD}$ siten, että hypotenuusat AC sivuavat toisensa ja että vastinsivut (AB ja CD sekä BC ja AD) tulevat toistensa vastakkaisille sivuille. Koska vastinsivut ovat nelikulmiossa toisiaan vastapäätä, on muodostunut nelikulmio suunnikas.

Suunnikkaassa vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret ja viereiset kulmat toistensa komplementtikulmat. Suunnikas muodostettiin suorakulmaisista kolmioista, joten yhdet kulmat (${\displaystyle \measuredangle CBA}$ ja ${\displaystyle \measuredangle ADC}$) ovat suoria kulmia. Koska suoran kulman supplementtikulma on myös suora kulma, on suunnikas lisäksi suorakulmio.

Suunnikkaassa lävistäjät AC ja BD puolittavat toisensa ja suorakulmiossa lävistäjät ovat yhtä pitkät. Silloin lävistäjien puolikkaat ovat kaikki yhtäpitkät. Jos nimitetään lävistäjien leikkauspisteeksi O ja kaikki neljä lävistäjän puolikasta (OA, OB, OC ja OD) säteiksi, voidaan piirtää ympyrä, joka ympäröi nelikulmion.

Tämän nelikulmion lävistäjä AC on myös kolmion hypotenuusa, jolla sijaitsee kaksi kehäpistettä A ja C ja ympyrän keskipiste O. Koska hypotenuusa AOC on suora jana, on se samalla ympyrän halkaisija.

Edelliset kaksi todistusta riittävät perusteluiksi seuraavaan Thaleen ja sen käänteiseen lauseeseen: Kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisija on yksi kolmion sivuista jos ja vain jos kolmio on suorakulmainen kolmio.