Taylorin sarja

Avoimella välillä ${\displaystyle ]a-r,a+r[}$ jatkuvasti derivoituva reaali- tai kompleksiarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...}$.

Toisaalta tämä voidaan merkitä muodossa

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$ [3]

Yllä olevan sarjan kehitteli Brook Taylor. Erityisesti tilanteessa jossa ${\displaystyle a=0}$ puhutaan Colin Maclaurinin mukaan nimetystä Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$.

Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (usein nimenomaan Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti sarjan raja-arvo, kun summaus suoritetaan nollasta äärettömään, vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }$

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots }$ suppenee, kun -1 < x ≤ 1.

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots }$, suppenee, kun -1 < x ≤ 1.

Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}.}$

Jos Taylorin sarjasta

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...}$

otetaan vain korkeintaan n-asteiset termit, saadaan Taylorin polynomi, jonka kertaluku on n:

${\displaystyle f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

Tämän polynomin aste on aina korkeintaan n, mutta esimerkiksi funktion sin x Taylorin polynomi kehityspisteenä origo kertalukua seitsemän olevan Taylorin polynomin aste on kuusi.

Jos Taylorin sarjan jäännösosa

${\displaystyle \sum _{i=n+1}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{i}.}$

voidaan todistaa riittävän pieneksi, voi Taylorin polynomia käyttää avoimella välillä jatkuvasti derivoituvien funktioiden approksimoimiseen polynomeilla.

• Laurentin sarja

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Funktion approksimointi Taylorin polynomilla (Arkistoitu – Internet Archive)