Tasajakauma

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

${\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{t(b-a)}}\int _{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.}$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla ${\displaystyle M(0)=1.}$ Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.[4]

Ensimmäiset origomomentit ovat

${\displaystyle \mu =E(X)=\lim _{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)}$

${\displaystyle \mu _{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})}$

${\displaystyle \mu _{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})}$

${\displaystyle \mu _{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}$

ja niiden yleinen termi on

${\displaystyle \mu _{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$ [4]

Keskusmomenttien yleinen muoto on

${\displaystyle \mu '_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.}$ [4]

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).}$ [2][4]

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

${\displaystyle \mu '_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.}$ [2][4]

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

${\displaystyle g_{1}={\frac {\mu '_{3}}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}_{2}^{3/2}}}=0.}$ [5][6]

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\mu '}_{4}}{{\mu '}_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.}$ [6][7]

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.