Tapahtuma (todennäköisyys)

Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset ovat perusjoukoksi kirjoitettuina (silmäluvut numeroina) ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.}$ Pelin tiimellyksessä voi tulla tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat tapahtuman ${\displaystyle A=\{4,5,6\}.}$ Tapahtuma ${\displaystyle A}$ on perusjoukon osajoukko eli joukko-opin merkinnöillä ${\displaystyle A\subset \Omega .}$ [6][7]

Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko ${\displaystyle \Omega }$ sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{2}.}$ Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin päässä napakympistä muodostavat tapahtuman ${\displaystyle A}$, joka voidaan määritellä ${\displaystyle A=\{(x,y)|{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<5\}.}$ [6]

Koska tapahtuman ${\displaystyle A}$ osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon ${\displaystyle A}$komplementtijoukko ${\displaystyle A^{c}}$ määritellään ${\displaystyle A^{c}:=\{\omega \in \Omega$ ;\omega \notin A\}.} Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: ${\displaystyle \Omega ^{c}=\emptyset }$ ja vastaavasti ${\displaystyle \emptyset ^{c}=\Omega .}$ Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: ${\displaystyle \{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}.}$ [1][6][9]

Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi kohota suureksi. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni: ${\displaystyle \Omega =\{kruuna,klaava\}=\{kr,kl\}.}$ Selvästikin tyhjä joukko sekä kruuna että klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: ${\displaystyle \{\emptyset ,\{kr\},\{kl\},\{kr,kl\}\}.}$Joukossa on alkioina ${\displaystyle 2^{2}}$ osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega ).}$ Nopanheitossa, missä ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$, on potenssijoukko ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},...,\{1,2,3\},...,\{1,2,3,4,5,6\}\}.}$ Niistä muodostuu yhteensä ${\displaystyle 2^{6}}$ osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia ${\displaystyle 2^{52}}$ kappaletta.[9]

Joukko-opin merkinnöin ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\Leftrightarrow A\subset \Omega }$ eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.[9]

Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus ${\displaystyle \omega }$, joka kuuluu tapahtumaan eli ${\displaystyle \omega \in A}$. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan ${\displaystyle A}$ kuuluu erilaisia alkeistapauksia ${\displaystyle \omega }$, sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys ${\displaystyle P(A)}$. Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, missä mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$ ja ${\displaystyle P(\Omega )=1.}$ Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1.}$ [1][3][7][10]

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan 1/n. Tapahtuman ${\displaystyle A}$ todennäköisyys ${\displaystyle P(A)}$ saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää ${\displaystyle |A|}$ perusjoukon kokoon ${\displaystyle |\Omega |}$:

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.}$ [1]