Tšebyšovin epäyhtälö

Olkoon (X,Σ,μ) mitta-avaruus ja f laajennettu reaaliarvoinen mitallinen funktio X:ssä. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla t > 0,

${\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}$

Yleisemmin, jos g on epänegatiivinen reaaliarvoinen mitallinen funktio, joka ei ole vähenevä f:n määrittelyjoukossa, on

${\displaystyle \mu (\{x\in X|\,f(x)\geq t\}\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

Edellinen väitös seuraa asettamalla

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{jos }}t\geq 0\\0&{\mbox{muulloin,}}\end{cases}}}$

ja valitsemalla f:n asemesta |f|.

Olkoon X satunnaismuuttuja odotusarvonaan μ ja äärellisenä varianssinaan σ². Tällöin kaikilla reaaliluvuilla k > 0,

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Ainoastaan tapaukset k > 1 tarjoavat hyödyllistä tietoa.

Esimerkiksi valitsemalla k=√2 huomataan, että vähintään puolet annetun jakauman arvoista sijaitsevat välillä (μ − √2 σ, μ + √2 σ).

Tšebyševin epäyhtälöä käytetään todistamaan heikko suurten lukujen laki.