Täydellinen luku

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)\,\!}$.

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

• n = 2: ${\displaystyle 2^{1}(2^{2}-1)=6=1+2+3\,\!}$
• n = 3: ${\displaystyle 2^{2}(2^{3}-1)=28=1+2+4+7+14\,\!}$
• n = 5: ${\displaystyle 2^{4}(2^{5}-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248\,\!}$
• n = 7: ${\displaystyle 2^{6}(2^{7}-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064\,\!}$. [2]

Eukleides osoitti, että ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)\,\!}$ on täydellinen luku aina, kun ${\displaystyle 2^{n}-1\,\!}$ on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut[3]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.[2] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin ${\displaystyle 10^{1500}}$[4] ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

• Moninkertaisesti täydellinen luku
• Puolitäydellinen luku
• Runsas luku
• Vajaa luku
• Lähes täydellinen luku
• GIMPS

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.