Sylowin lauseet

Olkoon seuraavassa ${\displaystyle G}$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on ${\displaystyle p^{n}a,\,}$ missä ${\displaystyle p\,}$ on alkuluku, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+}\,}$ ja ${\displaystyle p\,}$ ei jaa lukua ${\displaystyle a.\,}$

Lause 1. Ryhmällä ${\displaystyle G}$ on kertalukua ${\displaystyle p^{l},\,}$ missä ${\displaystyle 0\leq l\leq n,}$ oleva aliryhmä.[1]

Ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua ${\displaystyle p^{n}\,}$ olevia aliryhmiä.[2] Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos ${\displaystyle H\leq G\,}$ on kertalukua ${\displaystyle p^{l},\,}$ missä ${\displaystyle 0\leq l\leq n,}$ oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmä ${\displaystyle P}$ ja sellainen alkio ${\displaystyle g\in G,\,}$ että ${\displaystyle g^{-1}Hg\leq P.\,}$ Erityisesti ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.[3]

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos ${\displaystyle n_{p}\,}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

• ${\displaystyle n_{p}=\left[G:N_{G}(P)\right]\,}$, missä ${\displaystyle P}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ Sylowin p-aliryhmä, erityisesti ${\displaystyle n_{p}\,}$ jakaa tasan luvun ${\displaystyle a\,}$[4] ja
• ${\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}.\,}$[5]

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)