Suppenemistestit

Olkoon ${\displaystyle 0\leq x_{k}\leq y_{k}}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Tällöin

• Jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee (majoranttiperiaate).
• Jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Oletetaan, että ${\displaystyle x_{k}>0}$ ja ${\displaystyle y_{k}>0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ja että raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }{\frac {x_{k}}{y_{k}}}}$ on olemassa. Tällöin

• Jos ${\displaystyle L\in ]0,\infty [}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee, jos ja vain jos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee.
• Jos ${\displaystyle L=0}$ ja sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ suppenee, niin myös ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.
• Jos ${\displaystyle L=\infty }$ ja sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}}$ hajaantuu, niin myös ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.

Olkoon ${\displaystyle x_{k}\geq 0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q<1}$ siten, että ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{x_{k}}}\leq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q>1}$ siten, että ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{x_{k}}}\geq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.

• Jos raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{x_{k}}}}$ on olemassa, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$
  • suppenee, jos ${\displaystyle L<1}$
  • hajaantuu, jos ${\displaystyle L>1}$.

Olkoon ${\displaystyle x_{k}\neq 0}$ kaikilla ${\displaystyle k\in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q<1}$ siten, että ${\displaystyle \left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\leq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ suppenee.
• Jos on olemassa ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ja vakio ${\displaystyle q>1}$ siten, että ${\displaystyle \left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|\geq q}$ kaikilla ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$ hajaantuu.
• Jos raja-arvo ${\displaystyle L:=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {x_{k+1}}{x_{k}}}\right|}$ on olemassa, niin sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}}$
  • suppenee, jos ${\displaystyle L<1}$
  • hajaantuu, jos ${\displaystyle L>1}$.

Olkoon ${\displaystyle f:[1,\infty [\longrightarrow [0,\infty [}$ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä ${\displaystyle [1,a],a>1}$. Merkitään ${\displaystyle x_{k}=f(k)}$ kaikilla ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Tällöin sarja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ suppenee.