Suora

Määritelmä

Antiikin määritelmä

Antiikissa suora määriteltiin kahden pisteen ja viivaimen avulla. Valitaan tasolta kaksi pistettä. Eukleideen Alkeissa esitetyn määritelmän mukaan kahden pisteen välille voidaan aina vetää jana tai viiva. Määritelmästä on jäänyt viivain pois, joten sitä ei voi pitää täysin matemaattisena. Määritelmä on pääpiirteissään seuraava:

  1. Viiva on leveydetön pituus.
  2. Viivan äärirajat ovat pisteitä.
  3. Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään. [1][2]

Puolisuora eli säde piirretään silloin janan AB avulla niin, että janan toista päätä jatketaan samaan suuntaan pisteen C kautta äärettömän pitkälle. Kun sama toistetaan puolisuoran toiseen päähän, saadaan suora. Suora määräytyykin niiden kahden pisteen avulla, joiden kautta se kulkee. Antiikin määritelmässä korostetaan myös abstraktia käsitettä ääretön, joka tarkoitti geometriassa ”jatkamista loputtoman pitkälle”. [3]

Käyrä on suora, jos mitkä tahansa kolme suoran pistettä A, B ja C voidaan liittää kahteen janaan AB ja AC siten, että ne aina yhtyvät osan AB osalta. Toisaalta, suoran leveys on nolla, joten käyrä on suora koko pituudeltaan, jos sen projektio on piste, kun suoraa katsotaan sen kulkusuuntaan. [3][2] Tämä viimeinen testi on kirvesmiehille tuttu.

Analyyttisen geometrian määritelmä

Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää, mistä seuraa taas se, että pisteitä mahtuu pisteiden väliin äärettömästi.

Vaikka yhden pisteen pituus on 0, muodostuu äärettömän monen pisteen janalle ominaisuus pituus. Jana ei kuitenkaan ole leveä tai paksu, koska janalla olevilla pisteillä ei ole itsessään ominaisuutta leveys ja paksuus. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.

Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan ilmoittaa numeerisesti määrittämällä esimerkiksi pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Tämä etäisyys on luku, jota kutsutaan pisteen koordinaatiksi.

Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös pisteiden koordinaatit puolisuoralla ja suoralla. Puolisuoran pisteiden koordinaatit ovat esimerkiksi niiden etäisyys puolisuoran alkupisteestä. Suoralta tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Pisteen etäisyys origosta on tällöin pisteen koordinaatti. Koska suora voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevasta puolisuorasta, tulee koordinaatit olla positiivisia- ja negatiivisia reaalilukuja, riippuen siitä kummalla puolella origoa piste sijaitsee.

Pisteen koordinaatti janalla, puolisuoralla ja suoralla on aina yksi luku. Koska pisteen koordinaatteja tarvitaan vain yksi, sanotaan suoran olevan 1-ulotteinen olio eli sen dimensio on 1. Myös janan ja puolisuoran dimensio on 1. Koordinaattien avulla voidaan suoraa käsitellä numeerisesti esimerkiksi tietokoneella. [2]

Aksiomaattinen määritelmä

Nykyään suorat määritellään joukko-opin avulla käyttäen useita aksioomia, jotka määrittelevät useita ominaisuuksia, joita suoran tulee samanaikaisesti täyttää. Suoran ominaisuuksia kutsutaan aksioomiksi. Aksioomat on kirjoitettu niin, että pisteisiin viitataan isoilla kirjaimilla A, B ja C, ja suoriin pienillä kirjaimilla l ja a, tai pistepareilla esimerkiksi AB.

  1. Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.
  2. Jokaista kahta eri pistettä ja kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora jolla ja
  3. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
  4. Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste on pisteiden ja välissä, niin , ja ovat suoran eri pisteitä. Tällöin on myös pisteiden ja välissä.
  5. Jos ja ovat eri pisteitä, niin suoralla on piste siten että on pisteiden ja välissä.
  6. (Paschin aksiooma) Olkoon piste suoran ulkopuolella. Olkoon suora ja , , . Jos leikkaa janan , niin se leikkaa ainakin toisen janoista ja .

Suora analyyttisessa geometriassa

Suora yksiulotteisessa avaruudessa

Suora täyttää yksiulotteisen avaruuden kokonaan, jolloin kaikki avaruuden pisteet ovat suoran pisteitä. Kutakin pistettä vastaa jokin koordinaatti, joka on pisteen etäisyys origoksi valitusta pisteestä. Pisteen koodinaatti on reaaliluku .

Suora kaksiulotteisessa avaruudessa

Kaksiulotteinen avaruus tarkoittaa ääretöntä tasoa, jonne voidaan sijoittaa suora mielivaltaisesti. Koska suoran pisteet ovat koordinaattipareja , muodostavat pisteiden koordinaatit relaation. Suoran pisteisiin pääsee käsiksi usealla erilaisella lähestymistavalla.

Kaksiulotteinen parametriesitys

Suora voidaan määritellä kahden pisteen ja avulla. Suoran mikä tahansa kolmas piste voidaan ilmaista lausekkeella, jonka ”koordinaattina” on parametri

Jos suoran pisteet ovat kaksiulotteisia, saadaan ja koordinaateille parametrimuotoinen esitys

 eli 

missä ja ovat kulmakertoimia.

Kaksiulotteinen vektoriesitys suuntavektorin avulla

Sama parametrimuotoinen esitys voidaan ilmaista parametrimuotoisena vektoriesityksenä, jossa pisteet esitetään pystyvektoreilla

Jos merkitään ja saadaan suoran pisteiden vektoriksi

Vektoria kutsutaan suuntavektoriksi ja vektori on yksi suoran pisteen paikkavektori.

Suora karteesisessa koordinaatistossa. Luku on suoran kulmakerroin ja luku 1 sen vakiotermi.

Suoran yhtälö

Edellisestä parametrimuotoisesta esityksestä voidaan muodostaa suoran koordinaateille tunnetumpi relaatioesitys. Ratkaistaan luvun lausekkeesta parametri

joka sijoitetaan y:n lausekkeeseen

eli

jota kutsutaan suoran kahden pisteen esitykseksi pisteillä ja Merkitsemällä saadaan yksinkertaisempi yhtälö

missä

Tämä on suoran pisteiden ja koordinaattien välinen relaatio , jota kutsutaan suoran yhtälöksi. Yhtälön tätä muotoa

kutsutaan termillä y:n suhteen ratkaistu muoto. Yhtälössä kerrointa kutsutaan kulmakertoimeksi ja lukua vakiotermiksi. Toisaalta mahdollinen on myös

jota kutsutaan termillä x:n suhteen ratkaistu muoto. Siinä on kulmakerroin ja vakiotermi. Jos y:n suhteen ratkaistusta muodosta kirjoitetaankin

saadaan yleinen muoto

missä ja Kerroin voidaan kirjoittaa kaksirivisenä determinanttina:

Kaksiulotteinen vektoriesitys normaalivektorin avulla

Suoran suunta voidaan esittää suuntavektorin asemasta normaalivektorilla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan eli myös suuntavektoria vastaan. Valitaan suuntavektorin suuntainen erotusvektori , jossa on yksi suoran pisteiden paikkavektori. Merkitään normaalivektoria . Silloin nämä ovat kohtisuorassa ja niiden pistetulo on nolla

eli

.

Viimeisestä vaiheessa

missä

Normaalivektorin koordinaatit ja ovat suoran normaalimuotoisen yhtälön kertoimet.

Kulmakertoimen avulla

Jos pisteet ja ovat eräät suoran pisteistä, ja suoran yleinen piste merkitään , voidaan suoran kulmakerroin ilmaista kahdella tavalla:

Suoran yhtälö nollakohtien avulla

Suora voidaan määrittää käyttämällä tietoa siitä, missä suora ja koordinaattiakselit leikkaavat toisensa. Jos näitä leikkauspisteitä merkitään koordinaattipareilla, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteeksi ja vastaavasti y-akselin leikkauspisteeksi . Mikäli leikkauskohdat ovat muualla kuin origossa, saadaan suoran yhtälöksi

Suoran yhtälö etäisyydellä origosta

Jos suoralle piirretään origosta korkeusjana ja mitataan korkeusjanan suuntakulma sekä suoran etäisyys origosta, voidaan suoran yhtälö ilmaista

Suora kolmiulotteisessa avaruudessa

Kolmiulotteisen avaruuden suora voidaan määritellä vektorien avulla. Olkoot ja pisteiden paikkavektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa . Aiemminkin kirjoitettiin

missä pisteet on korvattu kolmiulotteisilla paikkavektoreilla. Vektorimuotoinen parametriesitys näyttää pystyvektoreilla kirjoitettuna

Parametrin kertoimena olevaa vektorierotusta

kutsutaan suuntavektoriksi. Suora on suuntavektorinsa kanssa yhdenssuuntainen. Pistettä

kutsutaan paikkavektoriksi. on eräs suoran pisteistä. Suoran vektoriesitys voidaan ilmaista yksinkertaisemmin

Vektorimuotoisesta parametriesityksestä voidaan siirtyä suoraan parametrimuotoiseen esitykseen

Suora voidaan avaruudessa määritellä myös kahden tason leikkauksena.

Lähteet

  • Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  • Weisstein, Eric W.: Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Line-Line Intersection (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Line-Line Angle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Skew Lines (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Viitteet

  1. D. E. Joyce: Elementa, kirja I, Clakin Yliopisto, 1996
  2. Weisstein, Eric W.: Line, Wolfram Mathworld
  3. Väisälä: Geometria, s. 1–3

    Kirjallisuutta

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.