Spiekerin piste

Spiekerin piste voidaan löytää seuraavilla geometrisilla menetelmillä.[1]

Spiekerin piste sijaitsee kolmion keskisen kolmion [6] kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Tämä on sama piste, joka saadaan sijoittamalla keskiseen kolmioon ympyrä, joka sivuaa keskisen kolmion kolmea sivua (katso kuva artikkelin alussa). Ympyrää kutsutaan Spiekerin ympyräksi.[7][8]

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion piirin kahteen yhtäpitkään osaan, kutsutaan engl. cleavers. Tällaisella janalla sijaitsee kolmion piirin painopiste, ja kolmen tällaisen janan leikkauspiste on Spiekerin piste.[9][10]

Spiekerin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b)}$ [3]

ja barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle (b+c):(c+a):(a+b).}$ [3]

• Pisteen Sp isogonaalinen konjugaatti on ${\displaystyle \scriptstyle X_{58}}$.[3]
• Piste Sp on kollineaarinen kulmanpuolittajien leikkauspisteen I (${\displaystyle \scriptstyle X_{1}}$), painopisteen G (${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$) ja Nagelin pisteen N (${\displaystyle \scriptstyle X_{8}}$) kanssa. Pisteiden keskinäiset etäisyydet ovat ISp = NSp, IG = 2·GSp ja NG = 2·IG. Tätä kutsutaan Nagelin janaksi.[11]

Spiekerin ympyrä (joskus myös engl. Eperson-Spieker circle [12]) sijaitsee kolmion keskisessä kolmiossa. Se sivuaa keskistä kolmiota kolmelta sivulta. Koska keskinen kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, mutta sen mitat ovat puolet pienempiä, on Spiekerin ympyrän säde puolet pienempi kuin referenssikolmion sisäympyrän säde. Yllä olevan kuvan merkinnöillä

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}R.}$ [8]

Piste Sp on nimetty 1800-luvulla toimineen saksalaisen matemaatikon Theodor Spiekerin kunniaksi.[13]

• de Villiers, Michael: A generalisation of the Spieker circle and Nagel line, Pythagoras 63, 2006 tai sama (Arkistoitu – Internet Archive)
• Fritsch, Rudolf: Tetraeder und Kugeln (Arkistoitu – Internet Archive), 2000