Vektori

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {V} }$ summa:

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen ${\displaystyle c\in \mathbb {A} }$:

${\displaystyle c\mathbf {x} }$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

${\displaystyle \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|}$.

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Vektoreille voidaan myös määritellä pistetulo, joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos(\theta )}$,

missä ${\displaystyle \theta }$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

Reaaliavaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

Vektorit a ja b sekä niiden summavektori a+b.

Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}}}$

Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}}}$

Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa vaihdanta- ja liitäntälakia, toisin sanoen vektoreillekin pätee:

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a} }$

ja

${\displaystyle \mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} }$.

Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita a ja b vastaavat suuntajanat sekä suunnikas, jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan lävistäjää.

Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.

${\displaystyle a{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ab_{1}\\ab_{2}\\ab_{3}\end{bmatrix}}}$

Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna a-kertainen. Jos a on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on -a-kertainen.

Vektorin x pituus ${\displaystyle \scriptstyle \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|}$ eli normi määritellään vektorin alkioiden (${\displaystyle \scriptstyle x_{1},x_{2},x_{3}}$) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella

${\displaystyle \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$.

Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan yksikkövektoriksi.

Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit. Tavallisesti käytetään tasossa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ja kolmiulotteisessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää ${\displaystyle {\vec {\imath }}}$ ja y-akselin suuntaiselle merkintää ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$, kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää ${\displaystyle {\vec {k}}}$. Tällöin tason vektori

${\displaystyle a={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}},}$

voidaan kirjoittaa myös muotoon ${\displaystyle a_{1}{\vec {\imath }}+a_{2}{\vec {\jmath }}}$

ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori

${\displaystyle a={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},}$

muotoon ${\displaystyle a_{1}{\vec {\imath }}+a_{2}{\vec {\jmath }}+a_{3}{\vec {k}}}$

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan ${\displaystyle n}$-ulotteisen avaruuden vektoreille.

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ :=\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|\cos \theta =\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} } , kun ${\displaystyle \mathbf {x,y} \neq \mathbf {0} }$, missä ${\displaystyle \theta }$ on vektoreiden x ja y välinen kulma.

Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.

Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia, toisin sanoen jos a, b ja c ovat vektoreita, pätee:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$

ja

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$.

Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty.

Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ (W) voidaan laskea pelkkänä voiman (F) ja matkan (s) tulona:

${\displaystyle W=Fs}$

Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n ja ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$:n vektoreille

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y}$ :=\mathbf {e} \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|\sin \theta }

missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi ${\displaystyle \left|e\right|=1}$) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.

Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }$.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ määriteltyjen vektoreiden ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ja ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

${\displaystyle \mathbf {x} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =d\mathbf {i} +e\mathbf {j} +f\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {det} {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=bf\mathbf {i} +cd\mathbf {j} +ae\mathbf {k} -ce\mathbf {i} -af\mathbf {j} -bd\mathbf {k} }$

Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} }$

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} }$

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0}$

Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.

Kolmelle vektorille a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) ja c = (c₁, c₂, c₃) määritellään skalaarikolmitulo eli lyhemmin kolmitulo V seuraavasti:

${\displaystyle V=(a\times b)\cdot c}$

Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}}$.