Sivuluokka

Olkoon ${\displaystyle H}$ on ryhmän ${\displaystyle G}$ aliryhmä ja ${\displaystyle a,b\in G\ }$. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

• alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän ${\displaystyle H}$ vasempaan sivuluokkaan,
• ${\displaystyle aH=bH\ }$ eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän ${\displaystyle H}$ vasemmat sivuluokat ovat samat,
• ${\displaystyle Ha^{-1}=Hb^{-1}\ }$ eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän ${\displaystyle H}$ oikeat sivuluokat ovat samat ja
• ${\displaystyle a^{-1}b\in H.\ }$

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio ${\displaystyle a\sim b\ :a^{-1}b\in H\ }$ kaikilla ${\displaystyle a,b\in G\ }$ on joukon ${\displaystyle G}$ ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän ${\displaystyle H}$ vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

${\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}aH\ }$

eli ryhmä ${\displaystyle G}$ voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä ${\displaystyle H}$ on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

${\displaystyle f:H\rightarrow aH,f(h)=ah\ }$

on bijektio kaikilla ${\displaystyle a\in G\ }$, niin aliryhmällä ${\displaystyle H}$ on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli ${\displaystyle H}$ on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän ${\displaystyle H}$ kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

${\displaystyle g:\left\{aH|a\in G\right\}\rightarrow \left\{Ha|a\in G\right\},f(aH)=Ha^{-1}\ }$

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän ${\displaystyle H}$ vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän ${\displaystyle H}$ vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän ${\displaystyle H}$ oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän ${\displaystyle H}$ indeksiksi ryhmässä ${\displaystyle G}$.

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli ${\displaystyle H\leq G\ }$ ja aliryhmän indeksi ryhmässä ${\displaystyle G}$ on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in G\ }$, että lista ${\displaystyle t_{1}H,t_{2}H,\ldots ,t_{n}H}$ sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista ${\displaystyle Ht_{1},Ht_{2},\ldots ,Ht_{n}}$ sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä ${\displaystyle aH}$ ja ${\displaystyle Ha}$, additiivisessa ${\displaystyle a+H}$ ja ${\displaystyle H+a}$. Tässä merkinnässä ${\displaystyle H}$:n paikalle ajatellaan sijoitetuksi jokainen ${\displaystyle H}$:n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.