Sisätuloavaruus

Olkoon ${\displaystyle V}$ vektoriavaruus, jonka skalaarikunta on ${\displaystyle F}$ (reaaliluvut ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tai kompleksiluvut ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Sisätulo on kuvaus ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow F}$, joka toteuttaa aksioomat:

• Konjugaattisymmetrisyys

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\langle g,f\rangle ^{*}\quad \forall f,g\in V}$ (symboli ${\displaystyle {}^{*}}$ on kompleksikonjugaatti).

• Seskvilineaarisuus

${\displaystyle \langle af,g\rangle =a\langle f,g\rangle \quad \forall a\in F\quad \forall f,g\in V}$ ja

${\displaystyle \langle f,g+h\rangle =\langle f,g\rangle +\langle f,h\rangle \quad \forall f,g,h\in V}$.

• Ei-negatiivisuus

${\displaystyle \langle f,f\rangle \geq 0\quad \forall f\in V}$

• Ei-degeneratiivisuus

${\displaystyle \langle f,f\rangle =0\,\,\,\quad \Rightarrow \quad f=0}$.

Tavalliset tason (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) tai kolmiulotteisen avaruuden (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) vektorit muodostavat sisätuloavaruuden, jossa sisätulo on sama kuin vektorien pistetulo. Geometrisesti kahden vektorin pistetulo voidaan määritellä niiden itseisarvojen tulona kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ :=\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|\cos \theta } ,

Pistetulo toteuttaa kaikki edellä annetut aksioomat.

Pistetulon geometriseen määritelmään perustuen voidaan käänteisesti määritellä vektorin itseisarvo eli normi sekä vektorien välinen kulma missä tahansa sisätuloavaruudessa. Vektorin normi määritellään neliöjuureksi sen sisätulosta itsensä kanssa:

${\displaystyle \left|\left|\mathbf {x} \right|\right|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$

Tällöin vektorien x ja y välinen kulma ${\displaystyle \theta }$ voidaan yleisesti määritellä jakamalla niiden sisätulo niiden normien tulolla ja ottamalla saadusta osamäärästä arkuskosini:

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\left|\left|\mathbf {x} \right|\right|\left|\left|\mathbf {y} \right|\right|}}\right)}$

Jos kahden vektorin sisätulo on nolla, ne ovat ortogonaaliset, mikä tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien tapauksessa merkitsee, että ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

• kanta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.