Sisäkolmio

Sisäkolmio syntyy geometriassa, kun kolmion kullekin sivulle merkitään piste, jotka yhdistetään janoilla kolmioksi. Määritelmänsä vuoksi sisäkolmio on aina kolmion sisällä. Sisäkolmion emokolmio, josta se muodostettiin, on eräs sen ulkokolmio.[1]

Pedaalikolmio syntyy kolmion sisäpisteen normaalien, jotka osuvat kohtisuoraan sivuja vastaan, kantapisteiden muodostamasta kolmiosta.

Ceviaanikolmio syntyy, kun ceviaanit leikkaavat toisensa sisäpisteessä ja kun janojen päissä kantapisteet muodostavat kolmion.

Vaikka sivujen pisteet voidaan valita mielivaltaisesti, ovat tietyillä tavoilla valitut pisteet erityisen mielenkiintoisia. Kolmion sisältä valitaan erityinen sisäpiste, joka osallistuu yhteisesti kolmion kolmen sivun kantapisteen muodostumiseen. Monesti tällainen piste on kolmion merkillinen piste. Kun sisäpisteestä johdetaan, erityisellä tavalla janoja hyväksi käyttäen, kantapisteet, saadaan sisäkolmio, jolla on erityisiä ominaisuuksia.

Pedaalinen kolmio (engl. pedal triangle) syntyy, kun kolmion sisäpisteestä vedetään normaalien avulla kohtisuorat kolmion sivuille. Kohtisuorat kohtaavat kolmion sivut kantapisteissä, joiden kautta pedaalikolmio piirretään.[2] Sisäpistettä, joka on muodostamassa pedaalikolmiota, kutsutaan pedaalipisteeksi.[3] Jos pedaalipiste sijaitsee kolmion ulkopuolella, ei pedaalikolmio välttämättä ole sisäkolmio, koska jokin kantapiste saattaa sijaita sivun jatkeella.[4]

Ceviaanikolmio (engl. cevian triangle) syntyy, kun kolmion kärjistä piirretään ceviaanit (engl. cevian) valitun sisäpisteen kautta vastakkaisille sivuille. Ceviaanit ja sivut kohtaavat kantapisteissä, joiden kautta kolmio piirretään.[5] Sisäpistettä, joka on muodostamassa kyseistä sisäkolmiota, kutsutaan ceviaanipisteeksi (engl. cevian point).[6]

Erityisiä sisäkolmioita

Seuraavassa on lueteltu joitakin edellä mainittuja kolmioita.

Pedaaliset kolmiot

Pedaalisten kolmioiden muoto riippuu sekä isäntäkolmion muodosta että normaalien leikkauspisteen P paikasta. Kolmiot voidaan kuitenkin luetteloida käyttäen leikkauspistettä indeksinä.

Sisäympyrän sivuamispisteistä voidaan muodostaa pedaalinen kolmio. Sisäympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus $\scriptstyle X_{1}$ [7]).
Keskinen kolmio on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän keskipisteen ( $\scriptstyle X_{3}$ [7]) suhteen pedaalinen kolmio.[8]
Ortokolmio syntyy korkeusjanojen kantapisteistä (jotka ovat myös ceviaanit), kun ne leikkaavat ortokeskuksessa (Kimberlingin tunnus on $\scriptstyle X_{4}$ [7]) ja jatkavat osuen kohtisuoraan kolmion vastaisille sivuille.[9]
Pedaalinen kolmio Bevan pisteen ( $\scriptstyle X_{40}$ [7]) suhteen syntyy, kun kolmiota ulkoisesti sivuavien ympyröiden sivuamispisteet yhdistetään kolmioksi.[10]

Ceviaanikolmiot

Ortokolmion korkeusjanat voidaan tulkita ceviaaniksi, jotka leikkaavat toisensa samaisessa ortokeskuksessa.[9]
Sisäympyrän keskipisteen kautta kulkevat ceviaanien kantapisteet muodostavat kolmion Gergonnen pisteen (Kimberlingin tunnus $\scriptstyle X_{7}$ [7]) kautta.[11][12]
Keskinen kolmio muodostuu kolmion keskijanojen kantapisteiden eli sivujen keskipisteiden, yhdistämisestä. Se on ceviaanien muodostama kolmio painopisteen (Kimberlingin tunnus $\scriptstyle X_{2}$ [7]) suhteen.[8]

Katso myös

Lähteet

Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

Viitteet

Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Pedal Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s. 17
Weisstein, Eric W.: Cevian Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Extouch Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Incentral Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Weisstein, Eric W.: Contact Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[tero43-1] Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

[PedalTriangle-2] Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[PedalPoint-3] Weisstein, Eric W.: Pedal Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[trilin17-4] Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s. 17

[CevianTriangle-5] Weisstein, Eric W.: Cevian Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[CevianPoint-6] Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[ck-7] Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)

[MedialTriangle-8] Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[OrthicTriangle-9] Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[ExtouchTriangle-10] Weisstein, Eric W.: Extouch Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[IncentralTriangle-11] Weisstein, Eric W.: Incentral Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

[ContactTriangle-12] Weisstein, Eric W.: Contact Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)