Sinilause

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.[1]

Jos kolmion ${\displaystyle ABC}$ kulmat ovat ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, sivut ovat ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ja ${\displaystyle c}$ ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on ${\displaystyle R}$, on voimassa

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$.

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion ${\displaystyle ABC}$ ympäri ympyrä ja siihen halkaisija ${\displaystyle BA'}$. Kehäkulmalauseen nojalla ${\displaystyle \angle BAC=\angle BA'C=\alpha }$. Koska ${\displaystyle BA'}$ on ympyrän halkaisija, ${\displaystyle \angle BCA'=90^{\circ }}$ (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta ${\displaystyle A'BC}$ luetaan ${\displaystyle a=2R\sin(\angle BA'C)=2R\sin \alpha }$ eli

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R}$.

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ välinen etäisyys ja kulmat ${\displaystyle \angle CBA=\beta }$ sekä ${\displaystyle \angle ACB=\gamma }$ on mitattu, kulma ${\displaystyle \angle BAC=\alpha }$ voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-(\beta +\gamma )}$. Pisteen ${\displaystyle A}$ etäisyydet pisteistä ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat nyt

${\displaystyle AB={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}\cdot BC}$ ja ${\displaystyle AC={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot BC}$.

Pallokolmioille sinilause pätee muodossa

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$,

missä ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat pallokolmion kulmat ja ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$ sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.