Monisto

Sanomme, että topologinen avaruus on topologinen n-monisto, jos

• avaruuden topologialla on numeroituva kanta,
• avaruus on Hausdorffin avaruus ja
• avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kanssa.[2]

Lokaali homeomorfisuus avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kanssa.[2] Koska itse avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ avoimen pallon kanssa.

Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebleniltä [4]. Oletetaan että ${\displaystyle M}$ on joukko. Määritellään joukon ${\displaystyle M}$ topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko ${\displaystyle X}$:n alijoukkoja ${\displaystyle U_{i}}$, missä ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, ja bijektiivisiä kuvauksia ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa.

• Joukot ${\displaystyle f_{i}(U_{j}\cap U_{i})\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ovat avoimia kaikille ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$. Huomioi, että tyhjä joukko on määritelty avoimeksi.
• Kuvaukset ovat yhteensopivia: ${\displaystyle f_{j}\circ f_{i}^{-1}:f_{i}(U_{j}\cap U_{i})\to \mathbb {R} ^{n}}$ ovat jatkuvia kaikille ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$.
• Joukot ${\displaystyle U_{i}}$ muodostavat joukon ${\displaystyle X}$ peitteen, eli ${\displaystyle \cup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}=X}$.

Sanomme, että funktiot ${\displaystyle f_{i}}$ ovat koordinaatti­funktioita, ja että joukot ${\displaystyle U_{i}}$ muodostavat kartaston. Kuvauksia ${\displaystyle f_{j}\circ f_{i}^{-1}}$ sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset ${\displaystyle f_{i}}$ indusoivat ${\displaystyle M}$:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus [2]. Kokonaislukua ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.

Tämä määritelmä on kätevä, koska se yleistyy helposti moniin muihin struktuureihin. Keskeistä tässä on jatkuvien kuvausten ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}$ kokoelma, missä ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan n.k. semiryhmä. Ks. esimerkiksi [6]. Valitettavasti koordinaattifunktiot ja kartastot eivät ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman kordinaattifunktioita. Mutta jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, niin molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Sanomme siis, että topologiset monistot ovat ekvivalentteja, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.

Sanomme, että ${\displaystyle M}$ on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto ${\displaystyle (U_{i},f_{i})}$ (ks. yllä), joille oletamme, että

• Koordinaattimuunnokset ${\displaystyle f_{j}\circ f_{i}^{-1}:f_{i}(U_{j}\cap U_{i})\to \mathbb {R} ^{n}}$ ovat sileitä (äärettömästi jatkuvasti derivoituvia).

Sanomme, että monisto on luokassa ${\displaystyle C^{k}}$ tai ${\displaystyle C^{k,\alpha }}$, jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva.

Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon ${\displaystyle M,N}$ sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot ${\displaystyle (U_{i},f_{i})}$ ja ${\displaystyle (V_{j},g_{j})}$, vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus ${\displaystyle h:M\to N}$ on sileä (tai esim. ${\displaystyle C^{k}}$), jos

• kaikille ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$ kuvaukset ${\displaystyle g_{j}\circ h\circ f_{i}:(f_{i}\circ h)^{-1}(U_{j})\to \mathbb {R} ^{n}}$ ovat sileitä.

Vastaavasti määrittelemme ${\displaystyle C^{k}}$-kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus ${\displaystyle h}$ on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus ${\displaystyle h^{-1}}$ on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).

Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topologisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi [7]. Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta [8].

Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto ${\displaystyle M}$ on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (${\displaystyle n=2k}$) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:

• Kuvaukset tulkitaan kompleksiarvoisina ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{k}}$ ja
• koordinaattimuunnokset ${\displaystyle f_{j}\circ f_{i}^{-1}:f_{i}(U_{j}\cap U_{i})\to \mathbb {C} ^{k}}$ ovat analyyttisiä. Analyyttisyys tässä tarkoittaa sileyttä ja sitä että ${\displaystyle f_{j}\circ f_{i}^{-1}}$ on koordinaateittain analyyttinen klassisessa mielessä.

Kokonaislukua ${\displaystyle k=n/2}$ sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi.

Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ korvataan jollakin varistolla ${\displaystyle V_{k}}$. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa [9].

Olkoon ${\displaystyle p\in M}$ mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta ${\displaystyle (U,f)}$, jolle ${\displaystyle p\in U}$. Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit ${\displaystyle v_{U}(p)\in \mathbb {R} ^{n}}$. Kun tarkastelemme koordinaatteja ${\displaystyle f}$, niin ${\displaystyle v_{U}(p)}$ vastaa suuntavektoria ${\displaystyle v_{U}(p)}$ jonka kanta on pisteessä ${\displaystyle f(p)}$. Voimme myös ajatella sitä suoran ${\displaystyle f(p)+tv}$, missä ${\displaystyle v\in \mathbb {R} _{+}}$, nopeusvektorina. Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit ${\displaystyle (V,g)}$ samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit ${\displaystyle v_{V}(p)}$ ja ${\displaystyle v_{U}(p)}$ ovat ekvivalentteja, jos

Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion ${\displaystyle g\circ f}$ derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään ${\displaystyle T_{p}M}$, joka on isomorfinen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet ${\displaystyle T_{p}M}$ yhteen, ja sitä merkitään ${\displaystyle TM}$ [11]. Tangenttiavaruus on esimerkki vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}$ kartasto monistolla ${\displaystyle M}$. Sitten määrittele

ja translaatiokuvaukset ${\displaystyle \phi _{ij}:U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{n}\to U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{n}}$ on annettu koordinaateissa kaavalla

Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden ${\displaystyle E=\sqcup _{\sim }U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}$, missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot ${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}\to E}$ ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.

Sileä monisto on Riemannin monisto, jos voimme määritellä sileän bilineaarisen positiivisesti definiitin tensorikentän, eli jokaisessa pisteessä on määritelty kuvaus

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.

• Kuvaus ${\displaystyle g}$ on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla ${\displaystyle TM}$, ks. [11].

• Kuvaus on bilineaarinen: ${\displaystyle g(aX+bY,cZ+dW)=acg(X,Z)+bcg(Y,Z)+adg(X,W)+bdf(Y,W),\forall X,Y,Z,W\in T_{p}M}$.

• Kuvaus on positiivisesti definiitti: ${\displaystyle g(X,X)\geq 0,\forall X\in T_{p}M}$ ja ${\displaystyle g(X,X)=0\rightarrow X=0}$.

• Kuvaus on symmetrinen: ${\displaystyle g(X,Y)=g(Y,X),\forall X,Y\in T_{p}M}$

Riemannin monistoille voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka ${\displaystyle g}$ on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä kaarevuus kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.

Symplektinen monisto on Riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

${\displaystyle \omega :T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.

• Kuvaus ${\displaystyle \omega }$ on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla ${\displaystyle TM}$, ks. [11].

• Kuvaus on bilineaarinen: ${\displaystyle \omega (aX+bY,cZ+dW)=ac\omega (X,Z)+bc\omega (Y,Z)+ad\omega (X,W)+bd\omega (Y,W),\forall X,Y,Z,W\in T_{p}M}$.

• Kuvaus on antilineaarinen: ${\displaystyle \omega (X,Y)=-\omega (Y,X),\forall X,Y\in T_{p}M}$

• Tekninen oletus, että kuvaus on eidegeneroituva, eli ei ole olemassa tangenttivektoria ${\displaystyle X\in T_{p}M}$, jolle kaikille ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ pätee ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$.

Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus ${\displaystyle TM}$. Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa.

Melkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

${\displaystyle J:T_{p}M\to T_{p}M}$,

joka toteuttaa seuraavat oletukset.

• Kuvaus ${\displaystyle J:TM\to TM}$ on sileä, ks. [11].

• Kuvaus on lineaarinen: ${\displaystyle J(aX+bY)=aJ(X)+bJ(Y),\forall X,Y\in T_{p}M}$.

• Kuvaus toteuttaa: ${\displaystyle J^{2}=-I}$, missä ${\displaystyle I}$ on identiteettikuvaus (kansan kielellä yksikkömatriisi).

Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin ${\displaystyle J}$ avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.