Signum-funktio

Kun ${\displaystyle x\neq 0}$, se voidaan laskea myös muodossa

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}},}$ [1]

missä ${\displaystyle |x|}$ tarkoittaa ${\displaystyle x}$:n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion ${\displaystyle H(x)}$ avulla:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1.}$ [1]

Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle ${\displaystyle a>0}$ pätee ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-a)=-1=-(+1)=-\operatorname {sgn} a,}$ koska ${\displaystyle \operatorname {sgn} a=+1}$.

Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo ${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x}$.[6] Toisaalta voidaan kirjoittaa myös ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x}$.

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x\cdot y)=\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y}$. Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\operatorname {sgn} x)=\operatorname {sgn} x}$.

Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn} x=-1\neq \operatorname {sgn} 0}$ ja oikeanpuoleinen raja-arvo ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)}$.

Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku ${\displaystyle z=x+yi\ (\neq 0)}$ on kompleksiluku, määritetään sen merkki

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}},}$

missä itseisarvo ${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, ja muuten ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$. Sama asia voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}=e^{i\theta },}$

missä ${\displaystyle \theta =\arg(z)}$. Kun signum reaaliluvulla tarkoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}.}$ [6] Kun kompleksiluku esitetään muodossa ${\displaystyle z=x+yi}$, tulee kaava muotoon

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x+yi)={\frac {x+yi}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$ [7]

Kaikille kompleksiluvuille ${\displaystyle z}$ ja niiden kompleksikonjugaateille ${\displaystyle {\overline {z}}}$ on voimassa ${\displaystyle z\operatorname {sgn} {\overline {z}}=|z|}$.[6]

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuraavia ominaisuuksia:

• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z_{1}\cdot z_{2})=\operatorname {sgn} z_{1}\cdot \operatorname {sgn} z_{2}}$ (tulon merkkisääntö)
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=\operatorname {sgn} z}$ positiiviselle reaaliluvulle ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=-\operatorname {sgn} z}$ negatiiviselle reaaliluvulle ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-z)=-\operatorname {sgn} z}$ (pariton funktio kompleksiluvuille)
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (|z|)=|\operatorname {sgn} (z)|}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\bar {z}})={\overline {\operatorname {sgn} z}}}$ kompleksilukujen konjugaateille
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{\operatorname {sgn} z}}={\overline {\operatorname {sgn} z}},}$ kun ${\displaystyle z\neq 0}$.